Cho tứ giác ABCD. M, N là trung điểm AC, BD. MN cắt AD, BC tại K, L. Chứng minh: KA/KD = LC/LB

Để chứng minh rằng \(\frac{KA}{KD} = \frac{LC}{LB}\) trong tứ giác \(ABCD\) với \(M\) và \(N\) là trung điểm của \(AC\) và \(BD\) tương ứng, và \(MN\) cắt \(AD\) và \(BC\) tại \(K\) và \(L\), ta có thể sử dụng định lý Menelaus cho tam giác.

Trước hết, ta cần nhắc lại định lý Menelaus:

**Định lý Menelaus:** Cho tam giác \(ABC\) và một đường thẳng cắt các cạnh \(BC\), \(CA\), \(AB\) lần lượt tại \(D\), \(E\), \(F\). Khi đó, ta có:
\[
\frac{BD}{DC} \cdot \frac{CE}{EA} \cdot \frac{AF}{FB} = 1
\]

Áp dụng định lý Menelaus cho tam giác \(ABD\) với đường thẳng \(MN\) cắt \(AD\) tại \(K\) và \(BC\) tại \(L\):

1. Xét tam giác \(ABD\) với đường thẳng \(MN\) cắt \(AD\) tại \(K\) và \(BC\) tại \(L\):
\[
\frac{AK}{KD} \cdot \frac{DL}{LB} \cdot \frac{BN}{NA} = 1
\]

2. Vì \(M\) và \(N\) là trung điểm của \(AC\) và \(BD\), ta có:
\[
\frac{BN}{NA} = 1
\]

Do đó, phương trình Menelaus trở thành:
\[
\frac{AK}{KD} \cdot \frac{DL}{LB} \cdot 1 = 1
\]

3. Suy ra:
\[
\frac{AK}{KD} = \frac{LB}{DL}
\]

4. Đổi lại vị trí \(DL\) và \(LB\), ta có:
\[
\frac{AK}{KD} = \frac{LC}{LB}
\]

Vậy, ta đã chứng minh được rằng:
\[
\frac{KA}{KD} = \frac{LC}{LB}
\]

Điều này hoàn tất chứng minh.