Để rút gọn biểu thức \( A \), ta sẽ sử dụng các công thức lượng giác cơ bản và các giá trị đặc biệt của các góc.

Biểu thức ban đầu là:
\[ A = 6 \cos 17^\circ \cos 73^\circ + \sin^2 31^\circ - \frac{16 \tan 43^\circ}{\cot 47^\circ} + \sin^2 59^\circ \]

1. Sử dụng công thức tích thành tổng cho \( \cos 17^\circ \cos 73^\circ \):
\[ \cos A \cos B = \frac{1}{2} [\cos (A+B) + \cos (A-B)] \]
Với \( A = 17^\circ \) và \( B = 73^\circ \):
\[ \cos 17^\circ \cos 73^\circ = \frac{1}{2} [\cos (17^\circ + 73^\circ) + \cos (17^\circ - 73^\circ)] = \frac{1}{2} [\cos 90^\circ + \cos (-56^\circ)] = \frac{1}{2} [0 + \cos 56^\circ] = \frac{1}{2} \cos 56^\circ \]

2. Sử dụng công thức \( \cos 56^\circ = \sin 34^\circ \):
\[ \cos 17^\circ \cos 73^\circ = \frac{1}{2} \sin 34^\circ \]

3. Thay vào biểu thức ban đầu:
\[ 6 \cos 17^\circ \cos 73^\circ = 6 \cdot \frac{1}{2} \sin 34^\circ = 3 \sin 34^\circ \]

4. Sử dụng công thức \( \sin^2 A + \cos^2 A = 1 \):
\[ \sin^2 31^\circ + \sin^2 59^\circ = \sin^2 31^\circ + \cos^2 31^\circ = 1 \]

5. Sử dụng công thức \( \tan A = \cot (90^\circ - A) \):
\[ \tan 43^\circ = \cot (90^\circ - 43^\circ) = \cot 47^\circ \]
Do đó:
\[ \frac{16 \tan 43^\circ}{\cot 47^\circ} = \frac{16 \cot 47^\circ}{\cot 47^\circ} = 16 \]

6. Thay tất cả vào biểu thức:
\[ A = 3 \sin 34^\circ + 1 - 16 + 1 \]
\[ A = 3 \sin 34^\circ + 2 - 16 \]
\[ A = 3 \sin 34^\circ - 14 \]

Vậy biểu thức rút gọn của \( A \) là:
\[ A = 3 \sin 34^\circ - 14 \]