Để tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số \( y = \sqrt{x-1} + \sqrt{5-x} + 2 \sqrt{(x-1)(5-x)} \), ta có thể sử dụng phương pháp đặt ẩn phụ.

Đặt \( t = \sqrt{(x-1)(5-x)} \). Khi đó, ta có:
\[ t^2 = (x-1)(5-x) \]
\[ t^2 = 5x - x^2 - 5 + x \]
\[ t^2 = -x^2 + 6x - 5 \]

Để \( t \) có nghĩa, ta cần:
\[ -x^2 + 6x - 5 \geq 0 \]

Giải bất phương trình này:
\[ -x^2 + 6x - 5 = 0 \]
\[ x^2 - 6x + 5 = 0 \]
\[ (x-1)(x-5) = 0 \]

Vậy \( x \) thuộc khoảng \([1, 5]\).

Tiếp theo, ta biểu diễn \( y \) theo \( t \):
\[ y = \sqrt{x-1} + \sqrt{5-x} + 2t \]

Đặt \( u = \sqrt{x-1} \) và \( v = \sqrt{5-x} \), ta có:
\[ u^2 = x-1 \]
\[ v^2 = 5-x \]
\[ u^2 + v^2 = 4 \]

Do đó, \( y \) trở thành:
\[ y = u + v + 2t \]

Từ \( t = \sqrt{(x-1)(5-x)} \), ta có:
\[ t = \sqrt{u^2 v^2} = uv \]

Vậy:
\[ y = u + v + 2uv \]

Để tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của \( y \), ta cần xét các giá trị của \( u \) và \( v \) sao cho \( u^2 + v^2 = 4 \).

Ta có thể sử dụng bất đẳng thức AM-GM để tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của \( y \):
\[ y = u + v + 2uv \]
\[ \leq \sqrt{u^2 + v^2} + 2uv \]
\[ \leq \sqrt{4} + 2uv \]
\[ \leq 2 + 2uv \]

Do \( uv \leq \frac{u^2 + v^2}{2} = 2 \), ta có:
\[ y \leq 2 + 2 \cdot 2 = 6 \]

Vậy giá trị lớn nhất của \( y \) là 6.

Để tìm giá trị nhỏ nhất, ta xét trường hợp \( u = v \):
\[ u^2 + v^2 = 4 \]
\[ 2u^2 = 4 \]
\[ u^2 = 2 \]
\[ u = \sqrt{2} \]

Khi đó:
\[ y = 2\sqrt{2} + 2(\sqrt{2}\sqrt{2}) = 2\sqrt{2} + 4 = 2\sqrt{2} + 4 \]

Vậy giá trị nhỏ nhất của \( y \) là \( 2\sqrt{2} + 4 \).

Tóm lại:
- Giá trị lớn nhất của \( y \) là 6.
- Giá trị nhỏ nhất của \( y \) là \( 2\sqrt{2} + 4 \).