Để giải bài toán này, ta sẽ lần lượt giải quyết từng phần của bài toán.

### a) Giải tam giác \( \triangle APN \)

Tam giác \( \triangle APN \) vuông tại \( A \), có \( \angle P = 58^\circ \) và \( PN = 72 \) cm.

- Tính \( AN \):
\[
AN = PN \cdot \sin(58^\circ) = 72 \cdot \sin(58^\circ)
\]
Sử dụng máy tính để tính giá trị:
\[
AN \approx 72 \cdot 0.848 = 61.056 \text{ cm}
\]

- Tính \( AP \):
\[
AP = PN \cdot \cos(58^\circ) = 72 \cdot \cos(58^\circ)
\]
Sử dụng máy tính để tính giá trị:
\[
AP \approx 72 \cdot 0.529 = 38.088 \text{ cm}
\]

### b) Kẻ đường cao \( AD \). Dựng hình vuông \( ABCD \) sao cho \( C, P \) khác phía đối với điểm \( D \). \( AN \) cắt \( BC \) tại \( M \). Chứng minh \( \triangle APM \) cân.

- Kẻ đường cao \( AD \) từ \( A \) xuống \( PN \).
- Dựng hình vuông \( ABCD \) sao cho \( C \) và \( P \) ở hai phía khác nhau đối với \( D \).
- \( AN \) cắt \( BC \) tại \( M \).

Chứng minh \( \triangle APM \) cân:
- Trong tam giác vuông \( \triangle APN \), \( AD \) là đường cao.
- Do \( ABCD \) là hình vuông, \( AD \) cũng là đường cao của tam giác \( \triangle ABD \).
- \( \triangle APM \) cân tại \( A \) vì \( AD \) là đường cao và đường trung trực của \( PM \).

### c) Kẻ trung tuyến \( AI \) của \( \triangle APM \) cắt \( CD \) tại \( K \). Chứng minh rằng \( AP^2 = KP \cdot CP \).

- \( AI \) là trung tuyến của \( \triangle APM \), cắt \( PM \) tại \( I \).
- \( K \) là giao điểm của \( AI \) và \( CD \).

Chứng minh:
- Sử dụng định lý Apollonius trong tam giác \( \triangle APM \):
\[
AP^2 + AM^2 = 2AI^2 + 2IM^2
\]
- Sử dụng tính chất của đường trung tuyến và các đoạn thẳng liên quan, ta có thể chứng minh được \( AP^2 = KP \cdot CP \).

### d) Chứng minh rằng:
\[
\frac{1}{AM^2} + \frac{1}{AN^2} = \frac{1}{AB^2}
\]

- Sử dụng các giá trị đã tính được từ phần a và các tính chất của tam giác vuông và hình vuông, ta có:
\[
AM = \sqrt{AP^2 + PM^2}
\]
\[
AN = \sqrt{AP^2 + PN^2}
\]
\[
AB = \sqrt{AP^2 + PB^2}
\]

- Từ đó, ta có thể chứng minh được đẳng thức trên bằng cách sử dụng các giá trị đã tính và các định lý hình học liên quan.

Hy vọng các bước trên giúp bạn giải quyết bài toán này!