Để tìm các số nguyên \( x \) và \( y \) thỏa mãn phương trình \( 3x - 5y = 7 \), chúng ta có thể sử dụng phương pháp tìm nghiệm của phương trình Diophantine tuyến tính.

Phương trình của chúng ta là:
\[ 3x - 5y = 7 \]

Trước tiên, chúng ta cần kiểm tra xem phương trình này có nghiệm nguyên hay không. Để làm điều này, chúng ta cần kiểm tra xem ước chung lớn nhất (GCD) của các hệ số \( 3 \) và \( 5 \) có chia hết cho hằng số \( 7 \) hay không.

GCD của \( 3 \) và \( 5 \) là \( 1 \), và \( 1 \) chia hết cho \( 7 \), do đó phương trình có nghiệm nguyên.

Tiếp theo, chúng ta sẽ tìm một nghiệm cụ thể của phương trình. Chúng ta có thể sử dụng phương pháp Euclid mở rộng để tìm nghiệm riêng của phương trình.

Sử dụng phương pháp Euclid mở rộng để giải phương trình:
\[ 3x - 5y = 7 \]

Chúng ta cần tìm các số nguyên \( x_0 \) và \( y_0 \) sao cho:
\[ 3x_0 - 5y_0 = 1 \]

Sau đó, nhân cả hai vế của phương trình này với \( 7 \) để có nghiệm của phương trình ban đầu.

Sử dụng Euclid mở rộng:
\[ 5 = 1 \cdot 3 + 2 \]
\[ 3 = 1 \cdot 2 + 1 \]
\[ 2 = 2 \cdot 1 + 0 \]

Từ đây, chúng ta có thể viết lại:
\[ 1 = 3 - 1 \cdot 2 \]
\[ 2 = 5 - 1 \cdot 3 \]

Thay thế vào:
\[ 1 = 3 - 1 \cdot (5 - 1 \cdot 3) \]
\[ 1 = 3 - 5 + 3 \]
\[ 1 = 2 \cdot 3 - 5 \]

Do đó, một nghiệm riêng của phương trình \( 3x - 5y = 1 \) là \( x_0 = 2 \) và \( y_0 = 1 \).

Nhân cả hai vế của phương trình này với \( 7 \):
\[ 3(2 \cdot 7) - 5(1 \cdot 7) = 7 \]
\[ 3 \cdot 14 - 5 \cdot 7 = 7 \]
\[ 42 - 35 = 7 \]

Vậy một nghiệm riêng của phương trình \( 3x - 5y = 7 \) là \( x = 14 \) và \( y = 7 \).

Nghiệm tổng quát của phương trình Diophantine tuyến tính \( 3x - 5y = 7 \) có dạng:
\[ x = 14 + 5k \]
\[ y = 7 + 3k \]

Với \( k \) là số nguyên tùy ý.

Vậy các nghiệm nguyên của phương trình \( 3x - 5y = 7 \) là:
\[ x = 14 + 5k \]
\[ y = 7 + 3k \]

Với \( k \) là số nguyên.