Để giải phương trình \(\frac{(3x-1)(3x-2)}{3} + 5(3x+1) = \frac{2(2x+1)(3x+1)}{3} + 2x(3x+1)\), ta sẽ thực hiện các bước sau:

1. **Nhân cả hai vế với 3 để loại bỏ mẫu số:**

\[
(3x-1)(3x-2) + 15(3x+1) = 2(2x+1)(3x+1) + 6x(3x+1)
\]

2. **Khai triển các biểu thức:**

\[
(3x-1)(3x-2) = 9x^2 - 6x - 3x + 2 = 9x^2 - 9x + 2
\]

\[
15(3x+1) = 45x + 15
\]

\[
2(2x+1)(3x+1) = 2[(2x)(3x) + (2x)(1) + (1)(3x) + (1)(1)] = 2(6x^2 + 2x + 3x + 1) = 2(6x^2 + 5x + 1) = 12x^2 + 10x + 2
\]

\[
6x(3x+1) = 18x^2 + 6x
\]

3. **Thay các biểu thức đã khai triển vào phương trình:**

\[
9x^2 - 9x + 2 + 45x + 15 = 12x^2 + 10x + 2 + 18x^2 + 6x
\]

4. **Kết hợp các hạng tử đồng dạng:**

\[
9x^2 - 9x + 2 + 45x + 15 = 30x^2 + 16x + 2
\]

\[
9x^2 + 36x + 17 = 30x^2 + 16x + 2
\]

5. **Chuyển tất cả các hạng tử về một vế của phương trình:**

\[
9x^2 + 36x + 17 - 30x^2 - 16x - 2 = 0
\]

\[
-21x^2 + 20x + 15 = 0
\]

6. **Chia cả hai vế cho -1 để đơn giản hóa:**

\[
21x^2 - 20x - 15 = 0
\]

7. **Giải phương trình bậc hai bằng công thức nghiệm:**

Phương trình bậc hai có dạng \(ax^2 + bx + c = 0\), với \(a = 21\), \(b = -20\), và \(c = -15\).

Công thức nghiệm là:

\[
x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
\]

Tính \(\Delta = b^2 - 4ac\):

\[
\Delta = (-20)^2 - 4 \cdot 21 \cdot (-15) = 400 + 1260 = 1660
\]

\[
\sqrt{\Delta} = \sqrt{1660} = 2\sqrt{415}
\]

Thay vào công thức nghiệm:

\[
x = \frac{20 \pm 2\sqrt{415}}{42} = \frac{10 \pm \sqrt{415}}{21}
\]

Vậy nghiệm của phương trình là:

\[
x = \frac{10 + \sqrt{415}}{21} \quad \text{hoặc} \quad x = \frac{10 - \sqrt{415}}{21}
\]