### Bài 4:
Tìm số tự nhiên \( n \) để \( B = (n - 8)^2 + 36 \) là một số nguyên tố.

Ta có:
\[ B = (n - 8)^2 + 36 \]

Để \( B \) là số nguyên tố, \( (n - 8)^2 \) phải là một số không âm và cộng với 36 phải là một số nguyên tố.

Xét các giá trị của \( n \):

1. \( n = 8 \):
\[ B = (8 - 8)^2 + 36 = 0 + 36 = 36 \]
36 không phải là số nguyên tố.

2. \( n = 9 \):
\[ B = (9 - 8)^2 + 36 = 1 + 36 = 37 \]
37 là số nguyên tố.

3. \( n = 7 \):
\[ B = (7 - 8)^2 + 36 = 1 + 36 = 37 \]
37 là số nguyên tố.

Vậy các giá trị \( n \) thỏa mãn là \( n = 7 \) và \( n = 9 \).

### Bài 5:
Tìm các nghiệm nguyên của phương trình: \( 2x^2 + 3y^2 + 4x = 19 \).

Ta có phương trình:
\[ 2x^2 + 3y^2 + 4x = 19 \]

Thử các giá trị nguyên của \( x \) và \( y \):

1. \( x = 1 \):
\[ 2(1)^2 + 4(1) + 3y^2 = 19 \]
\[ 2 + 4 + 3y^2 = 19 \]
\[ 6 + 3y^2 = 19 \]
\[ 3y^2 = 13 \]
\[ y^2 = \frac{13}{3} \]
Không có nghiệm nguyên.

2. \( x = -1 \):
\[ 2(-1)^2 + 4(-1) + 3y^2 = 19 \]
\[ 2 - 4 + 3y^2 = 19 \]
\[ -2 + 3y^2 = 19 \]
\[ 3y^2 = 21 \]
\[ y^2 = 7 \]
Không có nghiệm nguyên.

3. \( x = 2 \):
\[ 2(2)^2 + 4(2) + 3y^2 = 19 \]
\[ 8 + 8 + 3y^2 = 19 \]
\[ 16 + 3y^2 = 19 \]
\[ 3y^2 = 3 \]
\[ y^2 = 1 \]
\[ y = \pm 1 \]

Vậy các nghiệm nguyên là \( (x, y) = (2, 1) \) và \( (x, y) = (2, -1) \).

### Bài 6:
Giải phương trình nghiệm nguyên: \( x^2 + xy - 2014x - 2015y - 2016 = 0 \).

Ta có phương trình:
\[ x^2 + xy - 2014x - 2015y - 2016 = 0 \]

Thử các giá trị nguyên của \( x \) và \( y \):

1. \( x = 2015 \):
\[ (2015)^2 + 2015y - 2014(2015) - 2015y - 2016 = 0 \]
\[ 2015^2 - 2014(2015) - 2016 = 0 \]
\[ 2015(2015 - 2014) - 2016 = 0 \]
\[ 2015 - 2016 = 0 \]
\[ -1 \neq 0 \]
Không thỏa mãn.

2. \( x = 2014 \):
\[ (2014)^2 + 2014y - 2014(2014) - 2015y - 2016 = 0 \]
\[ 2014^2 - 2014^2 + 2014y - 2015y - 2016 = 0 \]
\[ -y - 2016 = 0 \]
\[ y = -2016 \]

Vậy nghiệm nguyên của phương trình là \( (x, y) = (2014, -2016) \).