Để chứng minh các tính chất hình học của tam giác ABC với các điểm và đường thẳng đã cho, chúng ta sẽ lần lượt giải quyết từng phần của bài toán.

### Phần a: Chứng minh tứ giác BDFE là hình bình hành

1. **Xét tứ giác BDFE:**
- Điểm D là hình chiếu vuông góc của E trên AB, do đó \( DE \perp AB \).
- Điểm F là hình chiếu vuông góc của E trên AC, do đó \( EF \perp AC \).

2. **Chứng minh \( BD \parallel EF \):**
- Vì \( DE \perp AB \) và \( EF \perp AC \), nên \( DE \parallel EF \) (do cả hai đều vuông góc với đường thẳng AH).

3. **Chứng minh \( BE \parallel DF \):**
- Xét tam giác ABE và tam giác ACF, vì D và F lần lượt là hình chiếu vuông góc của E trên AB và AC, nên \( BE \parallel DF \) (do cả hai đều vuông góc với đường thẳng AH).

4. **Chứng minh \( BD = EF \):**
- Vì \( DE \perp AB \) và \( EF \perp AC \), nên \( DE = EF \) (do E là trung điểm của BC và D, F là các hình chiếu vuông góc).

5. **Chứng minh \( BE = DF \):**
- Vì \( BE \parallel DF \) và \( BE = DF \) (do E là trung điểm của BC và D, F là các hình chiếu vuông góc).

Từ các điều trên, ta có \( BD \parallel EF \) và \( BE \parallel DF \) và \( BD = EF \) và \( BE = DF \). Do đó, tứ giác BDFE là hình bình hành.

### Phần b: Chứng minh tứ giác HEFD là hình thang cân

1. **Xét tứ giác HEFD:**
- Điểm D là hình chiếu vuông góc của E trên AB, do đó \( DE \perp AB \).
- Điểm F là hình chiếu vuông góc của E trên AC, do đó \( EF \perp AC \).

2. **Chứng minh \( HE \parallel DF \):**
- Vì \( DE \perp AB \) và \( EF \perp AC \), nên \( DE \parallel EF \) (do cả hai đều vuông góc với đường thẳng AH).

3. **Chứng minh \( HE = DF \):**
- Xét tam giác ABE và tam giác ACF, vì D và F lần lượt là hình chiếu vuông góc của E trên AB và AC, nên \( HE = DF \) (do E là trung điểm của BC và D, F là các hình chiếu vuông góc).

4. **Chứng minh \( HD = EF \):**
- Vì \( DE \perp AB \) và \( EF \perp AC \), nên \( DE = EF \) (do E là trung điểm của BC và D, F là các hình chiếu vuông góc).

Từ các điều trên, ta có \( HE \parallel DF \) và \( HE = DF \). Do đó, tứ giác HEFD là hình thang cân.

Như vậy, chúng ta đã chứng minh được rằng tứ giác BDFE là hình bình hành và tứ giác HEFD là hình thang cân.