Để tính các tỉ số lượng giác của các góc nhọn trong tam giác vuông \(ABC\) vuông tại \(A\) với đường cao \(AH\), ta cần biết các cạnh của tam giác. Dưới đây là các bước chi tiết để giải bài toán:

1. **Tìm các cạnh của tam giác \(ABC\):**

- Ta biết \(AB = 13\) và \(BH = 5\).
- Trong tam giác vuông \(ABH\), ta có:
\[
AH^2 + BH^2 = AB^2
\]
\[
AH^2 + 5^2 = 13^2
\]
\[
AH^2 + 25 = 169
\]
\[
AH^2 = 144
\]
\[
AH = 12
\]

- Để tìm cạnh \(AC\), ta sử dụng định lý Pythagore trong tam giác vuông \(AHC\):
\[
AC^2 = AH^2 + HC^2
\]
Ta cần tìm \(HC\). Trong tam giác vuông \(AHC\), \(HC\) là cạnh kề của góc \(A\) và cạnh đối của góc \(C\).

- Ta biết \(BH = 5\) và \(AB = 13\), nên \(HC = BC - BH\). Để tìm \(BC\), ta sử dụng định lý Pythagore trong tam giác vuông \(ABC\):
\[
BC^2 = AB^2 + AC^2
\]
Nhưng trước hết ta cần tìm \(AC\).

2. **Tìm \(AC\):**

- Trong tam giác vuông \(AHC\), ta có:
\[
AC^2 = AH^2 + HC^2
\]
Ta cần tìm \(HC\). Để tìm \(HC\), ta sử dụng định lý Pythagore trong tam giác vuông \(BHC\):
\[
BC^2 = BH^2 + HC^2
\]
\[
BC^2 = 5^2 + HC^2
\]
\[
BC^2 = 25 + HC^2
\]
Ta biết \(BC\) từ định lý Pythagore trong tam giác vuông \(ABC\):
\[
BC^2 = AB^2 + AC^2
\]
\[
BC^2 = 13^2 + AC^2
\]
\[
BC^2 = 169 + AC^2
\]
Kết hợp hai phương trình:
\[
25 + HC^2 = 169 + AC^2
\]
\[
HC^2 = 144 + AC^2
\]
\[
HC = \sqrt{144 + AC^2}
\]

3. **Tính tỉ số lượng giác của góc \(B\):**

- Ta có:
\[
\sin B = \frac{AC}{BC}
\]
\[
\cos B = \frac{AB}{BC}
\]
\[
\tan B = \frac{AC}{AB}
\]

4. **Tính tỉ số lượng giác của góc \(C\):**

- Ta có:
\[
\sin C = \cos B
\]
\[
\cos C = \sin B
\]
\[
\tan C = \cot B = \frac{1}{\tan B}
\]

Do đó, các tỉ số lượng giác của góc \(C\) có thể được suy ra từ các tỉ số lượng giác của góc \(B\).