Để chứng minh các phần của bài toán, ta sẽ lần lượt giải quyết từng phần.

**Phần a: Chứng minh tứ giác ABCD là hình thang**

Giả sử các tia phân giác của góc A và góc D cắt nhau tại M, và các tia phân giác của góc B và góc C cắt nhau tại N. Ta biết rằng góc AMD = 90°.

1. Xét tam giác AMD, ta có:
\[
\angle AMD = 90°
\]
Do đó, M là điểm trực tâm của tam giác AMD.

2. Vì M là giao điểm của các tia phân giác của góc A và góc D, nên M cũng là điểm trực tâm của tam giác ABD.

3. Tương tự, N là giao điểm của các tia phân giác của góc B và góc C, nên N cũng là điểm trực tâm của tam giác BCD.

4. Xét tứ giác ABCD, ta có:
\[
\angle AMD = 90°
\]
Điều này có nghĩa là đường thẳng AD vuông góc với đường thẳng BC.

5. Do đó, tứ giác ABCD có hai cạnh đối song song (AD // BC), nên ABCD là một hình thang.

**Phần b: Chứng minh NB // NC và MNBA là hình thang**

1. Xét tam giác BNC, ta có N là giao điểm của các tia phân giác của góc B và góc C. Do đó, N là điểm trực tâm của tam giác BNC.

2. Vì N là điểm trực tâm của tam giác BNC, nên các đường thẳng NB và NC là các đường phân giác của góc B và góc C.

3. Do đó, NB // NC.

4. Xét tứ giác MNBA, ta có:
\[
\angle MNB = 90°
\]
Điều này có nghĩa là đường thẳng MN vuông góc với đường thẳng BA.

5. Do đó, tứ giác MNBA có hai cạnh đối song song (MN // BA), nên MNBA là một hình thang.

Vậy ta đã chứng minh được cả hai phần của bài toán:
a) Tứ giác ABCD là hình thang.
b) NB // NC và MNBA là hình thang.