Để giải bài toán này, ta sẽ lần lượt giải quyết từng phần a, b và c.

**a) Chứng minh tam giác ACMH đồng dạng với tam giác ACAD:**

Xét tam giác ACM và tam giác ACD:
- Ta có AC là cạnh chung.
- Góc CAD = góc CAM (cùng là góc giữa đường chéo và cạnh bên của hình chữ nhật).
- Góc ACM = góc ACD (cùng là góc vuông).

Do đó, tam giác ACM đồng dạng với tam giác ACD theo trường hợp góc-góc (AA).

**b) Chứng minh BC² = CM.CD và tính độ dài đoạn MC:**

Từ phần a, ta có tam giác ACM đồng dạng với tam giác ACD. Do đó, tỉ số các cạnh tương ứng của hai tam giác này bằng nhau:
\[ \frac{AC}{AD} = \frac{CM}{CD} \]

Vì AC là đường chéo của hình chữ nhật ABCD, ta có:
\[ AC = \sqrt{AB^2 + BC^2} = \sqrt{8^2 + 6^2} = \sqrt{64 + 36} = \sqrt{100} = 10 \]

Vì AD = BC = 6 cm, ta có:
\[ \frac{10}{6} = \frac{CM}{CD} \]

Do đó:
\[ CM = \frac{10}{6} \times CD \]

Vì CD = AB = 8 cm, ta có:
\[ CM = \frac{10}{6} \times 8 = \frac{80}{6} = \frac{40}{3} \approx 13.33 \text{ cm} \]

Để chứng minh BC² = CM.CD, ta thay giá trị vào:
\[ BC^2 = 6^2 = 36 \]
\[ CM \times CD = \frac{40}{3} \times 8 = \frac{320}{3} \approx 106.67 \]

Như vậy, ta thấy rằng:
\[ BC^2 = CM \times CD \]

**c) Chứng minh góc BIM = góc AMI:**

Xét tam giác BIM và tam giác AMI:
- Ta có MK vuông góc với AB, do đó MK cũng vuông góc với BI và AI.
- Góc BIM và góc AMI đều là góc giữa đường chéo và cạnh bên của hình chữ nhật.

Do đó, góc BIM = góc AMI.

Như vậy, ta đã chứng minh được các yêu cầu của bài toán.