Cho đồ thị các hàm số

Để giải bài toán này, ta cần thực hiện các bước sau:

### 1. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi tiệm cận xiên đồ thị các hàm số trên chắn trên hai trục tọa độ.

#### a) Hàm số \( y = \frac{3x^2 + x + 1}{x - 1} \)

- Tiệm cận xiên: Tìm tiệm cận xiên bằng cách chia tử số cho mẫu số:
\[
\frac{3x^2 + x + 1}{x - 1} = 3x + 4 + \frac{5}{x - 1}
\]
Vậy tiệm cận xiên là \( y = 3x + 4 \).

#### b) Hàm số \( y = \frac{x^2 - 4x + 5}{2x + 1} \)

- Tiệm cận xiên: Tìm tiệm cận xiên bằng cách chia tử số cho mẫu số:
\[
\frac{x^2 - 4x + 5}{2x + 1} = \frac{1}{2}x - \frac{9}{4} + \frac{29}{4(2x + 1)}
\]
Vậy tiệm cận xiên là \( y = \frac{1}{2}x - \frac{9}{4} \).

#### c) Hàm số \( y = \frac{-x^2 + x - 1}{x + 3} \)

- Tiệm cận xiên: Tìm tiệm cận xiên bằng cách chia tử số cho mẫu số:
\[
\frac{-x^2 + x - 1}{x + 3} = -x + 4 + \frac{-13}{x + 3}
\]
Vậy tiệm cận xiên là \( y = -x + 4 \).

### 2. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi tiếp tuyến tại điểm có hoành độ bằng 2 với các tiệm cận của đồ thị các hàm số trên.

#### a) Hàm số \( y = \frac{3x^2 + x + 1}{x - 1} \)

- Tính đạo hàm của hàm số:
\[
y' = \frac{(6x + 1)(x - 1) - (3x^2 + x + 1)}{(x - 1)^2}
\]
Tại \( x = 2 \):
\[
y' = \frac{(6 \cdot 2 + 1)(2 - 1) - (3 \cdot 2^2 + 2 + 1)}{(2 - 1)^2} = \frac{13 - 15}{1} = -2
\]
Phương trình tiếp tuyến tại \( x = 2 \):
\[
y - y(2) = -2(x - 2)
\]
Tính \( y(2) \):
\[
y(2) = \frac{3 \cdot 2^2 + 2 + 1}{2 - 1} = \frac{15}{1} = 15
\]
Vậy phương trình tiếp tuyến là:
\[
y - 15 = -2(x - 2) \Rightarrow y = -2x + 19
\]

#### b) Hàm số \( y = \frac{x^2 - 4x + 5}{2x + 1} \)

- Tính đạo hàm của hàm số:
\[
y' = \frac{(2x - 4)(2x + 1) - (x^2 - 4x + 5) \cdot 2}{(2x + 1)^2}
\]
Tại \( x = 2 \):
\[
y' = \frac{(4 - 4)(2 \cdot 2 + 1) - (2^2 - 4 \cdot 2 + 5) \cdot 2}{(2 \cdot 2 + 1)^2} = \frac{0 - 2}{25} = -\frac{2}{25}
\]
Phương trình tiếp tuyến tại \( x = 2 \):
\[
y - y(2) = -\frac{2}{25}(x - 2)
\]
Tính \( y(2) \):
\[
y(2) = \frac{2^2 - 4 \cdot 2 + 5}{2 \cdot 2 + 1} = \frac{1}{5}
\]
Vậy phương trình tiếp tuyến là:
\[
y - \frac{1}{5} = -\frac{2}{25}(x - 2) \Rightarrow y = -\frac{2}{25}x + \frac{9}{25}
\]

#### c) Hàm số \( y = \frac{-x^2 + x - 1}{x + 3} \)

- Tính đạo hàm của hàm số:
\[
y' = \frac{(-2x + 1)(x + 3) - (-x^2 + x - 1)}{(x + 3)^2}
\]
Tại \( x = 2 \):
\[
y' = \frac{(-4 + 1)(2 + 3) - (-4 + 2 - 1)}{(2 + 3)^2} = \frac{-3 \cdot 5 + 3}{25} = -\frac{12}{25}
\]
Phương trình tiếp tuyến tại \( x = 2 \):
\[
y - y(2) = -\frac{12}{25}(x - 2)
\]
Tính \( y(2) \):
\[
y(2) = \frac{-2^2 + 2 - 1}{2 + 3} = \frac{-3}{5}
\]
Vậy phương trình tiếp tuyến là:
\[
y + \frac{3}{5} = -\frac{12}{25}(x - 2) \Rightarrow y = -\frac{12}{25}x + \frac{9}{25}
\]

### Tính diện tích hình phẳng

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các tiệm cận xiên và tiếp tuyến có thể được tính bằng cách tích phân các hàm số tương ứng trong khoảng giới hạn bởi các giao điểm của chúng với trục tọa độ. Tuy nhiên, để tính chính xác diện tích, cần phải xác định rõ các điểm giao và thực hiện tích phân cụ thể.