Để tìm giá trị của \(a\) để hệ phương trình có nghiệm duy nhất, ta cần kiểm tra điều kiện để hệ phương trình có nghiệm duy nhất. Điều này có nghĩa là định thức của ma trận hệ số phải khác 0.

### Bài 1:
Hệ phương trình:
\[
\begin{cases}
x - (a-2)y = a + 2 \\
ax + y = a + 2 \\
2x + 3y = 5
\end{cases}
\]

Ta viết lại hệ phương trình dưới dạng ma trận:
\[
\begin{cases}
x - (a-2)y = a + 2 \\
ax + y = a + 2 \\
2x + 3y = 5
\end{cases}
\]

Ma trận hệ số:
\[
\begin{vmatrix}
1 & -(a-2) \\
a & 1 \\
2 & 3
\end{vmatrix}
\]

Để hệ phương trình có nghiệm duy nhất, định thức của ma trận hệ số phải khác 0:
\[
\Delta = \begin{vmatrix}
1 & -(a-2) \\
a & 1
\end{vmatrix} = 1 \cdot 1 - a \cdot (-(a-2)) = 1 + a(a-2) = 1 + a^2 - 2a
\]

Ta cần \(\Delta \neq 0\):
\[
1 + a^2 - 2a \neq 0 \implies a^2 - 2a + 1 \neq 0 \implies (a-1)^2 \neq 0
\]

Do đó, \(a \neq 1\).

### Bài 2:
Hệ phương trình:
\[
\begin{cases}
x - y = 2 \\
x + 4y = m \\
x + 2y = 3
\end{cases}
\]

Ta viết lại hệ phương trình dưới dạng ma trận:
\[
\begin{cases}
x - y = 2 \\
x + 4y = m \\
x + 2y = 3
\end{cases}
\]

Ma trận hệ số:
\[
\begin{vmatrix}
1 & -1 \\
1 & 4 \\
1 & 2
\end{vmatrix}
\]

Để hệ phương trình có nghiệm duy nhất, định thức của ma trận hệ số phải khác 0:
\[
\Delta = \begin{vmatrix}
1 & -1 \\
1 & 4
\end{vmatrix} = 1 \cdot 4 - 1 \cdot (-1) = 4 + 1 = 5
\]

Do đó, hệ phương trình luôn có nghiệm duy nhất với mọi giá trị của \(m\).

### Bài 3:
Hệ phương trình:
\[
\begin{cases}
mx - 4y = -6 \\
x + y = 1
\end{cases}
\]

Ta viết lại hệ phương trình dưới dạng ma trận:
\[
\begin{cases}
mx - 4y = -6 \\
x + y = 1
\end{cases}
\]

Ma trận hệ số:
\[
\begin{vmatrix}
m & -4 \\
1 & 1
\end{vmatrix}
\]

Để hệ phương trình có nghiệm duy nhất, định thức của ma trận hệ số phải khác 0:
\[
\Delta = \begin{vmatrix}
m & -4 \\
1 & 1
\end{vmatrix} = m \cdot 1 - (-4) \cdot 1 = m + 4
\]

Ta cần \(\Delta \neq 0\):
\[
m + 4 \neq 0 \implies m \neq -4
\]

### Bài 4:
Hệ phương trình:
\[
\begin{cases}
x + y = 1 \\
(m-1)x + y = 3m - 4 \\
x + (m-1)y = m
\end{cases}
\]

a. Giải hệ khi \(m = -1\):
\[
\begin{cases}
x + y = 1 \\
(-1-1)x + y = 3(-1) - 4 \\
x + (-1-1)y = -1
\end{cases}
\]

\[
\begin{cases}
x + y = 1 \\
-2x + y = -7 \\
x - 2y = -1
\end{cases}
\]

b. Tìm \(m\) để hệ có nghiệm duy nhất thỏa mãn \(x + y = 3\):
\[
\begin{cases}
x + y = 1 \\
(m-1)x + y = 3m - 4 \\
x + (m-1)y = m
\end{cases}
\]

Ma trận hệ số:
\[
\begin{vmatrix}
1 & 1 \\
m-1 & 1 \\
1 & m-1
\end{vmatrix}
\]

Để hệ phương trình có nghiệm duy nhất, định thức của ma trận hệ số phải khác 0:
\[
\Delta = \begin{vmatrix}
1 & 1 \\
m-1 & 1
\end{vmatrix} = 1 \cdot 1 - 1 \cdot (m-1) = 1 - (m-1) = 2 - m
\]

Ta cần \(\Delta \neq 0\):
\[
2 - m \neq 0 \implies m \neq 2
\]

Vậy, \(m \neq 2\).