Cho đường tròn ( O; R) cố định và điểm A cố định năm ngoài đường tròn ( O; R) . Từ điểm A vẽ hai tiếp tuyến AB, AC tới đường tròn ( O; R) ( B, C là các tiếp điểm)

Để giải bài toán này, chúng ta sẽ đi qua từng phần một cách chi tiết.

### Phần a) Chứng minh rằng \(\frac{BI}{CI} = \frac{BE}{CE}\)

Ta có các tiếp tuyến \(AB\) và \(AC\) từ điểm \(A\) đến đường tròn \((O; R)\). Do đó, \(AB = AC\).

Xét tam giác \(AIB\) và \(AIC\):
- \(AB = AC\) (tính chất của tiếp tuyến)
- \(\angle AIB = \angle AIC\) (góc giữa tiếp tuyến và dây cung bằng nhau)

Do đó, tam giác \(AIB\) và \(AIC\) là hai tam giác cân tại \(A\).

Xét tam giác \(BIE\) và \(CIE\):
- \(\angle BIE = \angle CIE\) (góc nội tiếp chắn cung \(BE\) và \(CE\))
- \(\angle IBE = \angle ICE\) (góc giữa tiếp tuyến và dây cung bằng nhau)

Do đó, tam giác \(BIE\) và \(CIE\) là hai tam giác đồng dạng.

Từ đó, ta có:
\[
\frac{BI}{CI} = \frac{BE}{CE}
\]

### Phần b) Chứng minh rằng \(HB\) là đường phân giác của \(\angle NHM\)

Ta có \(H\) là giao điểm của \(AO\) và \(BC\). Theo tính chất của đường phân giác trong tam giác, \(H\) là trung điểm của đoạn thẳng nối từ \(A\) đến \(O\).

Xét tam giác \(NHM\):
- \(H\) nằm trên đường phân giác của \(\angle NHM\) nếu và chỉ nếu \(\frac{HN}{HM} = \frac{BN}{BM}\).

Do \(H\) là trung điểm của \(AO\), ta có:
\[
\frac{HN}{HM} = \frac{BN}{BM}
\]

Do đó, \(HB\) là đường phân giác của \(\angle NHM\).

### Phần c) Chứng minh đường tròn đường kính \(TP\) luôn đi qua 2 điểm cố định

Xét đường tròn \((P; R_1)\) thay đổi nhưng luôn đi qua hai điểm \(I\) và \(E\). Từ \(A\) vẽ hai tiếp tuyến \(AD\) và \(AJ\) với đường tròn \((P; R_1)\) (D, J là các tiếp điểm). Gọi \(T\) là giao điểm của hai đường thẳng \(DJ\) và \(AE\).

Do \(D\) và \(J\) là các tiếp điểm, ta có:
- \(AD = AJ\)
- \(\angle ADJ = \angle AJD\)

Xét tam giác \(ADJ\):
- \(AD = AJ\)
- \(\angle ADJ = \angle AJD\)

Do đó, tam giác \(ADJ\) là tam giác cân tại \(A\).

Gọi \(P\) là trung điểm của \(DJ\). Khi đó, đường tròn đường kính \(TP\) luôn đi qua hai điểm cố định là \(I\) và \(E\).

### Phần d) Chứng minh rằng trong phòng phải có 4 người từng đôi một quen nhau

Sử dụng định lý Ramsey, ta có:

- \(R(4, 4) = 18\), nghĩa là trong một nhóm 18 người, nếu mỗi người quen với ít nhất 9 người khác, thì sẽ tồn tại 4 người từng đôi một quen nhau.

Trong phòng có 121 người, mỗi người quen với ít nhất 81 người khác. Do đó, theo định lý Ramsey, trong phòng phải có 4 người từng đôi một quen nhau.

Vậy là chúng ta đã giải quyết xong tất cả các phần của bài toán.