Để chứng minh đẳng thức \( \frac{AB}{\sin C} = \frac{AC}{\sin B} = \frac{BC}{\sin A} \) trong tam giác ABC có ba góc nhọn, ta sử dụng định lý Sin.

Định lý Sin phát biểu rằng trong một tam giác bất kỳ, tỉ số giữa độ dài một cạnh và sin của góc đối diện với cạnh đó là một hằng số. Cụ thể, với tam giác ABC, ta có:

\[ \frac{AB}{\sin C} = \frac{BC}{\sin A} = \frac{CA}{\sin B} = 2R \]

trong đó \( R \) là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

Chứng minh:

1. Xét tam giác ABC với các cạnh \( AB = c \), \( BC = a \), \( CA = b \) và các góc \( \angle BAC = A \), \( \angle ABC = B \), \( \angle BCA = C \).

2. Theo định lý Sin, ta có:
\[ \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R \]

3. Từ đó, ta suy ra:
\[ \frac{BC}{\sin A} = \frac{a}{\sin A} = 2R \]
\[ \frac{CA}{\sin B} = \frac{b}{\sin B} = 2R \]
\[ \frac{AB}{\sin C} = \frac{c}{\sin C} = 2R \]

4. Do đó, ta có:
\[ \frac{AB}{\sin C} = \frac{AC}{\sin B} = \frac{BC}{\sin A} = 2R \]

Vậy, đẳng thức \( \frac{AB}{\sin C} = \frac{AC}{\sin B} = \frac{BC}{\sin A} \) đã được chứng minh.