Để giải bài toán này, ta cần sử dụng định lý Pythagoras và một số tính chất của tam giác vuông.

### Phần a:
Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Biết AB = 3 cm, BC = 5 cm.

1. **Tính AC:**
Sử dụng định lý Pythagoras trong tam giác vuông ABC:
\[
AC = \sqrt{BC^2 - AB^2} = \sqrt{5^2 - 3^2} = \sqrt{25 - 9} = \sqrt{16} = 4 \text{ cm}
\]

2. **Tính AH:**
Sử dụng công thức diện tích tam giác:
\[
\text{Diện tích tam giác ABC} = \frac{1}{2} \times AB \times AC = \frac{1}{2} \times 3 \times 4 = 6 \text{ cm}^2
\]
\[
\text{Diện tích tam giác ABC} = \frac{1}{2} \times BC \times AH
\]
\[
6 = \frac{1}{2} \times 5 \times AH \implies AH = \frac{12}{5} = 2.4 \text{ cm}
\]

3. **Tính BH và CH:**
Sử dụng các hệ thức lượng trong tam giác vuông:
\[
BH = \frac{AB^2}{BC} = \frac{3^2}{5} = \frac{9}{5} = 1.8 \text{ cm}
\]
\[
CH = \frac{AC^2}{BC} = \frac{4^2}{5} = \frac{16}{5} = 3.2 \text{ cm}
\]

### Phần b:
Cho biết AH = 60 cm, CH = 144 cm.

1. **Tính AB:**
Sử dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông:
\[
AB = \sqrt{BH \times BC}
\]
Ta cần tính BC trước.

2. **Tính BC:**
Sử dụng hệ thức lượng:
\[
AH^2 = BH \times CH
\]
\[
60^2 = BH \times 144 \implies BH = \frac{3600}{144} = 25 \text{ cm}
\]
\[
BC = BH + CH = 25 + 144 = 169 \text{ cm}
\]

3. **Tính AB và AC:**
\[
AB = \sqrt{BH \times BC} = \sqrt{25 \times 169} = \sqrt{4225} = 65 \text{ cm}
\]
\[
AC = \sqrt{CH \times BC} = \sqrt{144 \times 169} = \sqrt{24336} = 156 \text{ cm}
\]

4. **Tính BH:**
Đã tính ở trên, BH = 25 cm.

Vậy, các đoạn thẳng cần tính là:
- Phần a: BH = 1.8 cm, CH = 3.2 cm, AH = 2.4 cm, AC = 4 cm.
- Phần b: AB = 65 cm, AC = 156 cm, BC = 169 cm, BH = 25 cm.