Giải bài dấu của căn thức bậc hai

Để giải bài dấu của căn thức bậc hai, ta cần xác định điều kiện để biểu thức dưới dấu căn không âm (≥ 0). Dưới đây là các bước giải cho từng biểu thức:

a) \(\frac{1}{2} x - 2 + 1\)
\[ \frac{1}{2} x - 1 \geq 0 \]
\[ \frac{1}{2} x \geq 1 \]
\[ x \geq 2 \]

b) \(4x - x^2\)
\[ 4x - x^2 \geq 0 \]
\[ x(4 - x) \geq 0 \]
\[ 0 \leq x \leq 4 \]

c) \(2x + 3x^2\)
\[ 2x + 3x^2 \geq 0 \]
\[ x(2 + 3x) \geq 0 \]
\[ x \geq 0 \text{ hoặc } x \leq -\frac{2}{3} \]

d) \(\sqrt{2x^2 - 1}\)
\[ 2x^2 - 1 \geq 0 \]
\[ 2x^2 \geq 1 \]
\[ x^2 \geq \frac{1}{2} \]
\[ x \geq \frac{1}{\sqrt{2}} \text{ hoặc } x \leq -\frac{1}{\sqrt{2}} \]

e) \(\sqrt{-4x^2 + 2x + 6}\)
\[ -4x^2 + 2x + 6 \geq 0 \]
Giải phương trình bậc hai:
\[ -4x^2 + 2x + 6 = 0 \]
\[ x = \frac{-2 \pm \sqrt{4 + 96}}{-8} \]
\[ x = \frac{-2 \pm 10}{-8} \]
\[ x = 1.5 \text{ hoặc } x = -0.5 \]
\[ -0.5 \leq x \leq 1.5 \]

g) \(\sqrt{19x^2 + x + 2008}\)
\[ 19x^2 + x + 2008 \geq 0 \]
Biểu thức này luôn không âm vì hệ số của \(x^2\) là dương và giá trị của biểu thức luôn lớn hơn hoặc bằng 2008.

k) \(\sqrt{23x^2 + 12x - 2}\)
\[ 23x^2 + 12x - 2 \geq 0 \]
Giải phương trình bậc hai:
\[ 23x^2 + 12x - 2 = 0 \]
\[ x = \frac{-12 \pm \sqrt{144 + 184}}{46} \]
\[ x = \frac{-12 \pm \sqrt{328}}{46} \]
\[ x = \frac{-12 \pm 2\sqrt{82}}{46} \]
\[ x = \frac{-6 \pm \sqrt{82}}{23} \]
\[ x_1 = \frac{-6 + \sqrt{82}}{23} \]
\[ x_2 = \frac{-6 - \sqrt{82}}{23} \]
\[ x \leq \frac{-6 - \sqrt{82}}{23} \text{ hoặc } x \geq \frac{-6 + \sqrt{82}}{23} \]

Tóm lại, điều kiện để các căn thức bậc hai không âm là:
a) \( x \geq 2 \)
b) \( 0 \leq x \leq 4 \)
c) \( x \geq 0 \text{ hoặc } x \leq -\frac{2}{3} \)
d) \( x \geq \frac{1}{\sqrt{2}} \text{ hoặc } x \leq -\frac{1}{\sqrt{2}} \)
e) \( -0.5 \leq x \leq 1.5 \)
g) Luôn đúng
k) \( x \leq \frac{-6 - \sqrt{82}}{23} \text{ hoặc } x \geq \frac{-6 + \sqrt{82}}{23} \)