Để tìm giá trị lớn nhất (GTLN) và giá trị nhỏ nhất (GTNN) của các biểu thức bậc hai, ta cần xác định đỉnh của parabol tương ứng với mỗi biểu thức. Đỉnh của parabol có tọa độ \((x, y)\) với \(x = -\frac{b}{2a}\) và \(y = f(x)\), trong đó \(a\) và \(b\) là các hệ số của biểu thức bậc hai \(ax^2 + bx + c\).

a) \(m^2 - 6m + 1\)

- Hệ số \(a = 1\), \(b = -6\), \(c = 1\)
- \(m = -\frac{-6}{2 \cdot 1} = 3\)
- Giá trị tại đỉnh: \(f(3) = 3^2 - 6 \cdot 3 + 1 = 9 - 18 + 1 = -8\)

Vì \(a > 0\), parabol mở lên, nên:
- GTNN: -8 tại \(m = 3\)
- GTLN: Không có (vô cùng dương)

b) \(5m^2 - 8m - 3\)

- Hệ số \(a = 5\), \(b = -8\), \(c = -3\)
- \(m = -\frac{-8}{2 \cdot 5} = \frac{8}{10} = 0.8\)
- Giá trị tại đỉnh: \(f(0.8) = 5(0.8)^2 - 8 \cdot 0.8 - 3 = 5 \cdot 0.64 - 6.4 - 3 = 3.2 - 6.4 - 3 = -6.2\)

Vì \(a > 0\), parabol mở lên, nên:
- GTNN: -6.2 tại \(m = 0.8\)
- GTLN: Không có (vô cùng dương)

c) \(4m^2 - 12m + 5\)

- Hệ số \(a = 4\), \(b = -12\), \(c = 5\)
- \(m = -\frac{-12}{2 \cdot 4} = \frac{12}{8} = 1.5\)
- Giá trị tại đỉnh: \(f(1.5) = 4(1.5)^2 - 12 \cdot 1.5 + 5 = 4 \cdot 2.25 - 18 + 5 = 9 - 18 + 5 = -4\)

Vì \(a > 0\), parabol mở lên, nên:
- GTNN: -4 tại \(m = 1.5\)
- GTLN: Không có (vô cùng dương)

d) \(-7m^2 - 10m + 5\)

- Hệ số \(a = -7\), \(b = -10\), \(c = 5\)
- \(m = -\frac{-10}{2 \cdot -7} = \frac{10}{-14} = -\frac{5}{7}\)
- Giá trị tại đỉnh: \(f(-\frac{5}{7}) = -7(-\frac{5}{7})^2 - 10(-\frac{5}{7}) + 5 = -7 \cdot \frac{25}{49} + \frac{50}{7} + 5 = -\frac{175}{49} + \frac{350}{49} + \frac{245}{49} = \frac{420}{49} = \frac{60}{7}\)

Vì \(a < 0\), parabol mở xuống, nên:
- GTLN: \(\frac{60}{7}\) tại \(m = -\frac{5}{7}\)
- GTNN: Không có (vô cùng âm)

Tóm lại:
a) GTNN: -8 tại \(m = 3\), GTLN: Không có
b) GTNN: -6.2 tại \(m = 0.8\), GTLN: Không có
c) GTNN: -4 tại \(m = 1.5\), GTLN: Không có
d) GTLN: \(\frac{60}{7}\) tại \(m = -\frac{5}{7}\), GTNN: Không có