Để giải hệ phương trình và tìm giá trị của \( m \), ta làm theo các bước sau:

**a) Giải hệ phương trình với \( m = 2 \):**

Hệ phương trình:
\[
\begin{cases}
x - y = 3 - m \\
2x + y = 3m + 2
\end{cases}
\]

Thay \( m = 2 \) vào hệ phương trình:
\[
\begin{cases}
x - y = 3 - 2 \\
2x + y = 3(2) + 2
\end{cases}
\]

Ta có:
\[
\begin{cases}
x - y = 1 \\
2x + y = 8
\end{cases}
\]

Giải hệ phương trình này bằng phương pháp cộng đại số:
Cộng hai phương trình:
\[
(x - y) + (2x + y) = 1 + 8
\]
\[
3x = 9
\]
\[
x = 3
\]

Thay \( x = 3 \) vào phương trình \( x - y = 1 \):
\[
3 - y = 1
\]
\[
y = 2
\]

Vậy nghiệm của hệ phương trình khi \( m = 2 \) là \( (x, y) = (3, 2) \).

**b) Tìm \( m \) để hệ phương trình có nghiệm duy nhất:**

Hệ phương trình có dạng:
\[
\begin{cases}
x - y = 3 - m \\
2x + y = 3m + 2
\end{cases}
\]

Để hệ phương trình có nghiệm duy nhất, định thức của ma trận hệ số phải khác 0:
\[
\Delta = \begin{vmatrix}
1 & -1 \\
2 & 1
\end{vmatrix} = 1 \cdot 1 - (-1) \cdot 2 = 1 + 2 = 3 \neq 0
\]

Vì định thức của ma trận hệ số luôn khác 0, nên hệ phương trình luôn có nghiệm duy nhất với mọi giá trị của \( m \).

**c) Tìm GTNN của \( A_1 = x^2 + y^2 \) khi \( (x, y) \) là nghiệm của hệ:**

Ta đã có nghiệm của hệ phương trình là \( (x, y) = (3, 2) \) khi \( m = 2 \).

Tính \( A_1 \):
\[
A_1 = x^2 + y^2 = 3^2 + 2^2 = 9 + 4 = 13
\]

Vậy giá trị nhỏ nhất của \( A_1 \) là 13.