Để chứng minh các yêu cầu trong bài toán, ta sẽ đi qua từng phần một cách chi tiết.

### Phần A: Chứng minh tam giác MBH đồng dạng với tam giác MCK

1. **Xét tam giác MBH và tam giác MCK:**

- Ta có \(AM\) là đường trung tuyến của tam giác \(ABC\), do đó \(M\) là trung điểm của \(BC\).
- \(BH \perp AM\) và \(CH \perp AM\), do đó \(BH \parallel CH\).

2. **Góc tương ứng:**

- Trong tam giác \(MBH\) và tam giác \(MCK\), ta có:
\[
\angle MBH = \angle MCK = 90^\circ
\]
- Vì \(BH \parallel CH\) và \(M\) là trung điểm của \(BC\), nên:
\[
\angle BMH = \angle CMK
\]

3. **Tỉ số cạnh tương ứng:**

- Ta có \(M\) là trung điểm của \(BC\), do đó:
\[
MB = MC
\]

4. **Kết luận:**

- Từ các điều trên, ta có:
\[
\triangle MBH \sim \triangle MCK \quad (\text{g.g})
\]

### Phần B: Chứng minh \(AI \cdot KC = MI \cdot AC\)

1. **Kẻ đường thẳng từ \(M\) vuông góc với \(AM\) cắt \(AC\) tại \(I\):**

- Gọi \(I\) là giao điểm của đường thẳng vuông góc từ \(M\) với \(AM\) và \(AC\).

2. **Xét tam giác \(AMI\) và tam giác \(KCI\):**

- Ta có:
\[
\angle AMI = \angle KCI = 90^\circ
\]

3. **Sử dụng định lý đồng dạng:**

- Trong tam giác \(AMI\) và tam giác \(KCI\), ta có:
\[
\angle MAI = \angle KCI
\]
- Do đó, hai tam giác này đồng dạng:
\[
\triangle AMI \sim \triangle KCI \quad (\text{g.g})
\]

4. **Tỉ số cạnh tương ứng:**

- Từ tính chất đồng dạng, ta có:
\[
\frac{AI}{MI} = \frac{KC}{AC}
\]

5. **Kết luận:**

- Nhân chéo hai tỉ số trên, ta được:
\[
AI \cdot AC = MI \cdot KC
\]

Như vậy, ta đã chứng minh được cả hai phần của bài toán.