Để tìm số tự nhiên lớn nhất có ba chữ số thỏa mãn các điều kiện đã cho, ta cần giải hệ phương trình đồng dư sau:

1. \( n \equiv 1 \pmod{3} \)
2. \( n \equiv 2 \pmod{4} \)
3. \( n \equiv 4 \pmod{6} \)
4. \( n \equiv 5 \pmod{7} \)
5. \( n \equiv 6 \pmod{8} \)

Trước hết, ta nhận thấy rằng các điều kiện này có thể được biểu diễn dưới dạng:
- \( n = 3k + 1 \)
- \( n = 4m + 2 \)
- \( n = 6p + 4 \)
- \( n = 7q + 5 \)
- \( n = 8r + 6 \)

Ta sẽ bắt đầu từ điều kiện \( n \equiv 6 \pmod{8} \), tức là \( n = 8r + 6 \).

Thay \( n = 8r + 6 \) vào các điều kiện khác:

1. \( 8r + 6 \equiv 1 \pmod{3} \)
\[
8r + 6 \equiv 2r \equiv 1 \pmod{3} \implies 2r \equiv 1 \pmod{3} \implies r \equiv 2 \pmod{3}
\]
Vậy \( r = 3k + 2 \) với \( k \) là số nguyên.

2. \( 8r + 6 \equiv 2 \pmod{4} \)
\[
8r + 6 \equiv 2 \pmod{4} \implies 2 \equiv 2 \pmod{4} \quad \text{(luôn đúng)}
\]

3. \( 8r + 6 \equiv 4 \pmod{6} \)
\[
8r + 6 \equiv 2r \equiv 4 \pmod{6} \implies 2r \equiv 4 \pmod{6} \implies r \equiv 2 \pmod{3}
\]
Điều này đã được thỏa mãn từ điều kiện trước.

4. \( 8r + 6 \equiv 5 \pmod{7} \)
\[
8r + 6 \equiv r - 1 \equiv 5 \pmod{7} \implies r \equiv 6 \pmod{7}
\]
Vậy \( r = 7m + 6 \) với \( m \) là số nguyên.

Kết hợp hai điều kiện \( r = 3k + 2 \) và \( r = 7m + 6 \), ta có:
\[
3k + 2 = 7m + 6 \implies 3k - 7m = 4
\]

Giải phương trình Diophantine này:
\[
3k - 7m = 4
\]

Tìm nghiệm của phương trình này:
\[
k = 6 + 7t \quad \text{và} \quad m = 2 + 3t \quad \text{với} \quad t \in \mathbb{Z}
\]

Thay \( k = 6 + 7t \) vào \( r = 3k + 2 \):
\[
r = 3(6 + 7t) + 2 = 20 + 21t
\]

Thay \( r = 20 + 21t \) vào \( n = 8r + 6 \):
\[
n = 8(20 + 21t) + 6 = 160 + 168t + 6 = 166 + 168t
\]

Để \( n \) là số tự nhiên có ba chữ số, ta cần:
\[
100 \leq 166 + 168t \leq 999
\]

Giải bất phương trình:
\[
100 \leq 166 + 168t \implies -66 \leq 168t \implies t \geq -\frac{66}{168} \approx -0.393
\]
\[
166 + 168t \leq 999 \implies 168t \leq 833 \implies t \leq \frac{833}{168} \approx 4.96
\]

Vậy \( t \) có thể nhận các giá trị nguyên từ 0 đến 4. Giá trị lớn nhất của \( t \) là 4:
\[
n = 166 + 168 \times 4 = 166 + 672 = 838
\]

Vậy số tự nhiên lớn nhất có ba chữ số thỏa mãn các điều kiện đã cho là \( n = 838 \).