Để giải hệ phương trình đã cho, ta thực hiện các bước sau:

Hệ phương trình:
\[ \begin{cases}
x - 2y = 3 - m \\
2x + y = 3(m + 2)
\end{cases} \]

### a) Giải hệ phương trình khi \( m = -1 \)

Thay \( m = -1 \) vào hệ phương trình:
\[ \begin{cases}
x - 2y = 3 - (-1) \\
2x + y = 3(-1 + 2)
\end{cases} \]

Ta có:
\[ \begin{cases}
x - 2y = 4 \\
2x + y = 3
\end{cases} \]

Giải hệ phương trình này bằng phương pháp thế hoặc cộng đại số.

Nhân phương trình thứ hai với 2:
\[ 4x + 2y = 6 \]

Cộng hai phương trình:
\[ (x - 2y) + (4x + 2y) = 4 + 6 \]
\[ 5x = 10 \]
\[ x = 2 \]

Thay \( x = 2 \) vào phương trình thứ nhất:
\[ 2 - 2y = 4 \]
\[ -2y = 2 \]
\[ y = -1 \]

Vậy nghiệm của hệ phương trình khi \( m = -1 \) là \( (x, y) = (2, -1) \).

### b) Tìm \( m \) để hệ có nghiệm duy nhất \( (x, y) \) sao cho \( S = x^2 + y^2 \) đạt giá trị nhỏ nhất

Để hệ phương trình có nghiệm duy nhất, định thức của ma trận hệ số phải khác 0:
\[ \Delta = \begin{vmatrix}
1 & -2 \\
2 & 1
\end{vmatrix} = 1 \cdot 1 - (-2) \cdot 2 = 1 + 4 = 5 \neq 0 \]

Do đó, hệ phương trình luôn có nghiệm duy nhất với mọi giá trị của \( m \).

Ta cần tìm \( m \) sao cho \( S = x^2 + y^2 \) đạt giá trị nhỏ nhất.

Từ hệ phương trình:
\[ \begin{cases}
x - 2y = 3 - m \\
2x + y = 3(m + 2)
\end{cases} \]

Giải hệ phương trình này, ta có:
\[ x = \frac{(3 - m) + 2 \cdot 3(m + 2)}{5} \]
\[ y = \frac{2 \cdot (3 - m) - (3(m + 2))}{5} \]

Tính \( S = x^2 + y^2 \):
\[ S = \left( \frac{(3 - m) + 2 \cdot 3(m + 2)}{5} \right)^2 + \left( \frac{2 \cdot (3 - m) - (3(m + 2))}{5} \right)^2 \]

Để \( S \) đạt giá trị nhỏ nhất, ta cần tìm giá trị của \( m \) sao cho \( S \) nhỏ nhất. Điều này có thể được thực hiện bằng cách tính đạo hàm của \( S \) theo \( m \) và tìm giá trị \( m \) tại đó đạo hàm bằng 0.

Tuy nhiên, để đơn giản hơn, ta có thể thử các giá trị của \( m \) và tính \( S \) để tìm giá trị nhỏ nhất.