Để giải và biện luận hệ phương trình đã cho theo tham số \( m \), ta thực hiện các bước sau:

### 1. Giải và biện luận hệ phương trình

Hệ phương trình đã cho là:
\[
\begin{cases}
mx - y = 2m \quad \text{(1)} \\
4x - my = m + 6 \quad \text{(2)}
\end{cases}
\]

Ta sẽ giải hệ phương trình này bằng phương pháp thế hoặc phương pháp cộng đại số.

**Phương pháp thế:**

Từ phương trình (1), ta có:
\[
y = mx - 2m \quad \text{(3)}
\]

Thế phương trình (3) vào phương trình (2):
\[
4x - m(mx - 2m) = m + 6
\]

Giải phương trình trên:
\[
4x - m^2x + 2m^2 = m + 6
\]
\[
(4 - m^2)x = m + 6 - 2m^2
\]
\[
x = \frac{m + 6 - 2m^2}{4 - m^2} \quad \text{(4)}
\]

Thế giá trị của \( x \) từ phương trình (4) vào phương trình (3):
\[
y = m \left( \frac{m + 6 - 2m^2}{4 - m^2} \right) - 2m
\]
\[
y = \frac{m(m + 6 - 2m^2)}{4 - m^2} - 2m
\]
\[
y = \frac{m^2 + 6m - 2m^3}{4 - m^2} - 2m
\]
\[
y = \frac{m^2 + 6m - 2m^3 - 2m(4 - m^2)}{4 - m^2}
\]
\[
y = \frac{m^2 + 6m - 2m^3 - 8m + 2m^3}{4 - m^2}
\]
\[
y = \frac{m^2 - 2m}{4 - m^2}
\]

### Biện luận hệ phương trình:

- Nếu \( 4 - m^2 \neq 0 \) (tức là \( m \neq \pm 2 \)), thì hệ phương trình có nghiệm duy nhất:
\[
x = \frac{m + 6 - 2m^2}{4 - m^2}, \quad y = \frac{m^2 - 2m}{4 - m^2}
\]

- Nếu \( m = 2 \):
\[
4 - m^2 = 0 \Rightarrow 4 - 4 = 0
\]
Thay \( m = 2 \) vào phương trình (1) và (2):
\[
2x - y = 4 \quad \text{(1')}
\]
\[
4x - 2y = 8 \quad \text{(2')}
\]
Nhân phương trình (1') với 2:
\[
4x - 2y = 8
\]
Phương trình (1') và (2') là tương đương, do đó hệ phương trình có vô số nghiệm.

- Nếu \( m = -2 \):
\[
4 - m^2 = 0 \Rightarrow 4 - 4 = 0
\]
Thay \( m = -2 \) vào phương trình (1) và (2):
\[
-2x - y = -4 \quad \text{(1'')}
\]
\[
4x + 2y = 4 \quad \text{(2'')}
\]
Nhân phương trình (1'') với 2:
\[
-4x - 2y = -8
\]
\[
4x + 2y = 4
\]
Cộng hai phương trình:
\[
0 = -4
\]
Điều này vô lý, do đó hệ phương trình vô nghiệm.

### 2. Chứng minh rằng \( 2x + y = 3 \) với mọi giá trị của \( m \)

Trong trường hợp hệ phương trình có nghiệm duy nhất, ta có:
\[
x = \frac{m + 6 - 2m^2}{4 - m^2}, \quad y = \frac{m^2 - 2m}{4 - m^2}
\]

Ta cần chứng minh:
\[
2x + y = 3
\]

Thay giá trị của \( x \) và \( y \) vào:
\[
2x + y = 2 \left( \frac{m + 6 - 2m^2}{4 - m^2} \right) + \frac{m^2 - 2m}{4 - m^2}
\]
\[
= \frac{2(m + 6 - 2m^2) + (m^2 - 2m)}{4 - m^2}
\]
\[
= \frac{2m + 12 - 4m^2 + m^2 - 2m}{4 - m^2}
\]
\[
= \frac{-3m^2 + 12}{4 - m^2}
\]
\[
= \frac{3(4 - m^2)}{4 - m^2}
\]
\[
= 3
\]

Vậy \( 2x + y = 3 \) với mọi giá trị của \( m \) khi hệ phương trình có nghiệm duy nhất.