Để chứng minh các biểu thức \(A = x^2 + 8x + 19\) và \(B = 4x^2 - 4x + 2\) có giá trị dương với mọi \(x\), chúng ta sẽ phân tích từng biểu thức một.

### Biểu thức A: \(A = x^2 + 8x + 19\)

1. **Hoàn thành bình phương:**
\[
A = x^2 + 8x + 19
\]
Ta hoàn thành bình phương cho \(x^2 + 8x\):
\[
x^2 + 8x = (x + 4)^2 - 16
\]
Do đó:
\[
A = (x + 4)^2 - 16 + 19 = (x + 4)^2 + 3
\]

2. **Phân tích giá trị:**
\((x + 4)^2\) là một bình phương nên luôn không âm, tức là \((x + 4)^2 \geq 0\).

Vì vậy:
\[
(x + 4)^2 + 3 \geq 0 + 3 = 3
\]

Do đó, \(A = (x + 4)^2 + 3\) luôn lớn hơn hoặc bằng 3, tức là \(A\) luôn có giá trị dương với mọi \(x\).

### Biểu thức B: \(B = 4x^2 - 4x + 2\)

1. **Hoàn thành bình phương:**
\[
B = 4x^2 - 4x + 2
\]
Ta hoàn thành bình phương cho \(4x^2 - 4x\):
\[
4x^2 - 4x = 4(x^2 - x) = 4\left(x^2 - x + \frac{1}{4} - \frac{1}{4}\right) = 4\left((x - \frac{1}{2})^2 - \frac{1}{4}\right)
\]
Do đó:
\[
B = 4\left((x - \frac{1}{2})^2 - \frac{1}{4}\right) + 2 = 4(x - \frac{1}{2})^2 - 1 + 2 = 4(x - \frac{1}{2})^2 + 1
\]

2. **Phân tích giá trị:**
\(4(x - \frac{1}{2})^2\) là một bình phương nhân với 4 nên luôn không âm, tức là \(4(x - \frac{1}{2})^2 \geq 0\).

Vì vậy:
\[
4(x - \frac{1}{2})^2 + 1 \geq 0 + 1 = 1
\]

Do đó, \(B = 4(x - \frac{1}{2})^2 + 1\) luôn lớn hơn hoặc bằng 1, tức là \(B\) luôn có giá trị dương với mọi \(x\).

### Kết luận:
Cả hai biểu thức \(A = x^2 + 8x + 19\) và \(B = 4x^2 - 4x + 2\) đều có giá trị dương với mọi \(x\).