Để tính định thức của ma trận \( A \) theo \( a \), ta cần xác định ma trận \( A \) và tính định thức của nó.

Ma trận \( A \) được cho như sau:
\[ A = \begin{pmatrix}
4 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 2 & 1 \\
2 & 1 & a & 2
\end{pmatrix} \]

Để tính định thức của ma trận này, ta có thể sử dụng phương pháp khai triển định thức theo hàng hoặc cột. Ở đây, ta sẽ khai triển định thức theo cột thứ hai vì nó có nhiều số 0.

\[ \text{det}(A) = 4 \cdot \text{det}\left(\begin{pmatrix}
0 & 0 & 1 \\
0 & 2 & 1 \\
1 & a & 2
\end{pmatrix}\right) \]

Tiếp tục khai triển định thức của ma trận con \( 3 \times 3 \):

\[ \text{det}\left(\begin{pmatrix}
0 & 0 & 1 \\
0 & 2 & 1 \\
1 & a & 2
\end{pmatrix}\right) = 0 \cdot \text{det}\left(\begin{pmatrix}
2 & 1 \\
a & 2
\end{pmatrix}\right) - 0 \cdot \text{det}\left(\begin{pmatrix}
0 & 1 \\
1 & 2
\end{pmatrix}\right) + 1 \cdot \text{det}\left(\begin{pmatrix}
0 & 2 \\
1 & a
\end{pmatrix}\right) \]

\[ = 1 \cdot (0 \cdot a - 2 \cdot 1) = -2 \]

Do đó, định thức của ma trận \( A \) là:

\[ \text{det}(A) = 4 \cdot (-2) = -8 \]

Tuy nhiên, ta cần kiểm tra lại các đáp án để xác định xem có sai sót nào không. Các đáp án cho câu hỏi này là:

A. \(\text{det}(A) = 2a^2\)
B. \(\text{det}(A) = 0\) với mọi \( a \)
C. \(\text{det}(A) = -5a^2\)
D. \(\text{det}(A) = 10a^2\)

Rõ ràng, không có đáp án nào khớp với kết quả tính toán của chúng ta. Do đó, có thể có sai sót trong đề bài hoặc trong quá trình tính toán. Tuy nhiên, dựa trên các bước tính toán, kết quả của chúng ta là \(\text{det}(A) = -8\).