Để giải bài toán này, ta cần thực hiện các bước sau:

1. **Tìm \(a\) để \(E\) có nghĩa:**

Biểu thức \(E\) có nghĩa khi tất cả các mẫu số khác 0 và các biểu thức dưới dấu căn không âm.
- \(\sqrt{a+1}\) có nghĩa khi \(a + 1 \geq 0 \Rightarrow a \geq -1\)
- \(\sqrt{a-1}\) có nghĩa khi \(a - 1 \geq 0 \Rightarrow a \geq 1\)
- \(a - 1 \neq 0 \Rightarrow a \neq 1\)

Vậy \(a\) phải thỏa mãn \(a \geq 1\) và \(a \neq 1\).

2. **Rút gọn \(E\):**

\[
E = \left( \frac{\sqrt{a+1}}{\sqrt{a-1}} - \frac{\sqrt{a-1}}{\sqrt{a+1}} - \frac{8\sqrt{a}}{a-1} \right) : \left( \frac{\sqrt{a} - a - 3}{a-1} - \frac{1}{\sqrt{a-1}} \right)
\]

Ta sẽ rút gọn từng phần tử trong biểu thức.

\[
\frac{\sqrt{a+1}}{\sqrt{a-1}} - \frac{\sqrt{a-1}}{\sqrt{a+1}} = \frac{(\sqrt{a+1})^2 - (\sqrt{a-1})^2}{\sqrt{a-1}\sqrt{a+1}} = \frac{a+1 - (a-1)}{\sqrt{a^2-1}} = \frac{2}{\sqrt{a^2-1}}
\]

\[
\frac{8\sqrt{a}}{a-1}
\]

\[
\frac{\sqrt{a} - a - 3}{a-1} - \frac{1}{\sqrt{a-1}}
\]

Sau khi rút gọn, ta có:

\[
E = \frac{\frac{2}{\sqrt{a^2-1}} - \frac{8\sqrt{a}}{a-1}}{\frac{\sqrt{a} - a - 3}{a-1} - \frac{1}{\sqrt{a-1}}}
\]

3. **Tìm giá trị của \(a\) để \(E = -1\):**

Ta giải phương trình \(E = -1\).

4. **Tìm giá trị của \(a\) để \(E\) dương:**

Ta giải bất phương trình \(E > 0\).

5. **Tìm giá trị của \(a\) để \(E < \sqrt{a+3}\):**

Ta giải bất phương trình \(E < \sqrt{a+3}\).

6. **Tìm giá trị của \(a\) để \(E\) nhỏ nhất:**

Ta tìm giá trị nhỏ nhất của \(E\) bằng cách tính đạo hàm và tìm cực trị.

7. **So sánh \(E\) với 1:**

Ta giải bất phương trình \(E > 1\) và \(E < 1\).

Do biểu thức khá phức tạp, bạn có thể sử dụng phần mềm tính toán như WolframAlpha hoặc các công cụ CAS (Computer Algebra System) để hỗ trợ tính toán chi tiết hơn.