Để giải bài toán này, ta sẽ lần lượt giải quyết từng phần a, b, c, và d.

**a) Tính BC**

Tam giác ABC vuông tại A, nên ta có thể áp dụng định lý Pythagore để tính cạnh BC:
\[ BC^2 = AB^2 + AC^2 \]
\[ BC^2 = 3^2 + 4^2 \]
\[ BC^2 = 9 + 16 \]
\[ BC^2 = 25 \]
\[ BC = \sqrt{25} = 5 \text{ cm} \]

**b) Chứng minh tam giác ABC đồng dạng với tam giác AEC. Tính AE**

Ta có tam giác ABC vuông tại A và tam giác AEC vuông tại E. Do đó, hai tam giác này có góc A chung và đều vuông tại một góc, nên chúng đồng dạng với nhau theo trường hợp góc-góc (AA).

Để tính AE, ta sử dụng diện tích của tam giác ABC:
\[ S_{ABC} = \frac{1}{2} \times AB \times AC = \frac{1}{2} \times 3 \times 4 = 6 \text{ cm}^2 \]

Diện tích tam giác ABC cũng có thể được tính bằng:
\[ S_{ABC} = \frac{1}{2} \times BC \times AE \]
\[ 6 = \frac{1}{2} \times 5 \times AE \]
\[ 6 = \frac{5}{2} \times AE \]
\[ AE = \frac{6 \times 2}{5} = \frac{12}{5} = 2.4 \text{ cm} \]

**c) Chứng minh BDEF là tứ giác nội tiếp**

Để chứng minh tứ giác BDEF là tứ giác nội tiếp, ta cần chứng minh rằng tổng hai góc đối diện của tứ giác bằng 180 độ.

Ta có:
- Góc \( \angle BDF \) và góc \( \angle BEF \) là hai góc đối diện trong tứ giác BDEF.
- Góc \( \angle BDF \) bằng góc \( \angle BAC \) (do BD là phân giác của góc ABC).
- Góc \( \angle BEF \) bằng góc \( \angle BAE \) (do AE là đường cao).

Do tam giác ABC vuông tại A, ta có:
\[ \angle BAC + \angle BAE = 90^\circ \]

Vì vậy:
\[ \angle BDF + \angle BEF = 90^\circ + 90^\circ = 180^\circ \]

Do đó, tứ giác BDEF là tứ giác nội tiếp.

**d) Tính AF**

Để tính AF, ta sử dụng tính chất của đường phân giác và đường cao trong tam giác vuông.

Ta có:
\[ \frac{BD}{DC} = \frac{AB}{AC} = \frac{3}{4} \]

Gọi D là điểm chia AC theo tỉ lệ 3:4, ta có:
\[ AD = \frac{3}{3+4} \times AC = \frac{3}{7} \times 4 = \frac{12}{7} \text{ cm} \]
\[ DC = \frac{4}{3+4} \times AC = \frac{4}{7} \times 4 = \frac{16}{7} \text{ cm} \]

Sử dụng định lý Pythagore trong tam giác ADE vuông tại A:
\[ AE^2 = AD^2 + DE^2 \]
\[ 2.4^2 = \left(\frac{12}{7}\right)^2 + DE^2 \]
\[ 5.76 = \frac{144}{49} + DE^2 \]
\[ DE^2 = 5.76 - \frac{144}{49} \]
\[ DE^2 = 5.76 - 2.94 \]
\[ DE^2 = 2.82 \]
\[ DE = \sqrt{2.82} \approx 1.68 \text{ cm} \]

Do đó, AF là đoạn thẳng từ A đến F, và F là giao điểm của AE và BD. Sử dụng tính chất của tam giác đồng dạng, ta có thể tính AF bằng cách sử dụng tỉ lệ tương ứng.

\[ AF = \frac{AE \times BD}{BC} \]
\[ AF = \frac{2.4 \times 3}{5} = \frac{7.2}{5} = 1.44 \text{ cm} \]

Vậy, AF = 1.44 cm.