Để chứng minh \( BDEF = BF \cdot AD \), ta cần sử dụng một số tính chất của tam giác vuông và đường phân giác.

**Bài toán:**
Cho tam giác \( \triangle ABC \) vuông tại \( A \), \( AB = 3 \) cm, \( AC = 4 \) cm, đường cao \( AE \); \( BD \) là phân giác ( \( D \in AC \) ), \( F \) là giao điểm của \( AE \) và \( BD \).

**Giải:**

**a) Chứng minh \( \triangle ABC \) đồng dạng với \( \triangle EAC \):**

- Vì \( \triangle ABC \) vuông tại \( A \), nên \( \angle BAC = 90^\circ \).
- \( AE \) là đường cao, nên \( \angle AEB = \angle AEC = 90^\circ \).
- Do đó, \( \triangle AEB \) và \( \triangle AEC \) đều là tam giác vuông tại \( E \).

Ta có:
\[ \angle BAE = \angle CAE \] (cùng là góc \( A \))

Vậy \( \triangle ABC \) đồng dạng với \( \triangle EAC \) theo trường hợp góc-góc (AA).

**b) Tính \( AE \) và \( DA \):**

- Sử dụng định lý Pythagore trong tam giác \( \triangle ABC \):
\[ BC = \sqrt{AB^2 + AC^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = 5 \text{ cm} \]

- Đường cao \( AE \) trong tam giác vuông \( \triangle ABC \) được tính bằng công thức:
\[ AE = \frac{AB \cdot AC}{BC} = \frac{3 \cdot 4}{5} = \frac{12}{5} = 2.4 \text{ cm} \]

- Vì \( BD \) là đường phân giác của \( \triangle ABC \), nên theo định lý đường phân giác:
\[ \frac{AD}{DC} = \frac{AB}{BC} = \frac{3}{4} \]

- Gọi \( AD = x \) và \( DC = 4 - x \), ta có:
\[ \frac{x}{4 - x} = \frac{3}{4} \]
\[ 4x = 3(4 - x) \]
\[ 4x = 12 - 3x \]
\[ 7x = 12 \]
\[ x = \frac{12}{7} \text{ cm} \]

Vậy \( DA = \frac{12}{7} \text{ cm} \).

**c) Chứng minh \( BDEF = BF \cdot AD \):**

- Gọi \( H \) là giao điểm của \( AE \) và \( BF \).

- Ta có \( \triangle BDF \) và \( \triangle ADF \) đồng dạng với nhau (vì \( \angle BDF = \angle ADF \) và \( \angle BFD = \angle AFD \)).

- Do đó:
\[ \frac{BD}{AD} = \frac{BF}{DF} \]
\[ BD \cdot DF = BF \cdot AD \]

- Vì \( F \) là giao điểm của \( AE \) và \( BD \), nên \( DF = EF \).

- Vậy:
\[ BDEF = BF \cdot AD \]

**d) Tính \( AF \):**

- Ta có \( AE = 2.4 \text{ cm} \) và \( DA = \frac{12}{7} \text{ cm} \).

- Sử dụng định lý đường phân giác trong tam giác vuông:
\[ AF = \frac{AE \cdot AD}{AE + AD} = \frac{2.4 \cdot \frac{12}{7}}{2.4 + \frac{12}{7}} \]

- Tính toán:
\[ AF = \frac{2.4 \cdot \frac{12}{7}}{2.4 + \frac{12}{7}} = \frac{\frac{28.8}{7}}{\frac{16.8}{7}} = \frac{28.8}{16.8} = \frac{24}{14} = \frac{12}{7} \text{ cm} \]

Vậy \( AF = \frac{12}{7} \text{ cm} \).