Giải và biện luận phương trình sau

Để giải và biện luận các phương trình sau, chúng ta sẽ giải từng phương trình một và xem xét các trường hợp đặc biệt của tham số \( m \).

### Phương trình a:
\[ 2mx + 5 = m(x - 4) + 3 \]

Bước 1: Mở rộng và thu gọn phương trình:
\[ 2mx + 5 = mx - 4m + 3 \]

Bước 2: Chuyển tất cả các hạng tử chứa \( x \) về một bên và các hạng tử không chứa \( x \) về bên kia:
\[ 2mx - mx = -4m + 3 - 5 \]
\[ mx = -4m - 2 \]

Bước 3: Giải phương trình theo \( x \):
\[ x = \frac{-4m - 2}{m} \]

Bước 4: Biện luận theo \( m \):
- Nếu \( m = 0 \), phương trình trở thành:
\[ 5 = 3 \]
Đây là phương trình vô nghiệm.
- Nếu \( m \neq 0 \), ta có:
\[ x = \frac{-4m - 2}{m} = -4 - \frac{2}{m} \]
Phương trình có nghiệm duy nhất là:
\[ x = -4 - \frac{2}{m} \]

### Phương trình b:
\[ (1 - 3m)(x - 2) = 2x + 1 - m \]

Bước 1: Mở rộng và thu gọn phương trình:
\[ (1 - 3m)x - 2(1 - 3m) = 2x + 1 - m \]
\[ (1 - 3m)x - 2 + 6m = 2x + 1 - m \]

Bước 2: Chuyển tất cả các hạng tử chứa \( x \) về một bên và các hạng tử không chứa \( x \) về bên kia:
\[ (1 - 3m)x - 2x = 1 - m + 2 - 6m \]
\[ (1 - 3m - 2)x = 3 - 7m \]
\[ (1 - 3m - 2)x = 3 - 7m \]
\[ (-1 - 3m)x = 3 - 7m \]

Bước 3: Giải phương trình theo \( x \):
\[ x = \frac{3 - 7m}{-1 - 3m} \]

Bước 4: Biện luận theo \( m \):
- Nếu \( -1 - 3m = 0 \) (tức là \( m = -\frac{1}{3} \)), phương trình trở thành:
\[ 3 - 7m = 3 - 7 \left(-\frac{1}{3}\right) = 3 + \frac{7}{3} = \frac{16}{3} \]
Đây là phương trình vô nghiệm.
- Nếu \( m \neq -\frac{1}{3} \), ta có:
\[ x = \frac{3 - 7m}{-1 - 3m} \]
Phương trình có nghiệm duy nhất là:
\[ x = \frac{3 - 7m}{-1 - 3m} \]

### Phương trình c:
\[ m(mx + 4) = 4mx - m - 4x \]

Bước 1: Mở rộng và thu gọn phương trình:
\[ m^2x + 4m = 4mx - m - 4x \]

Bước 2: Chuyển tất cả các hạng tử chứa \( x \) về một bên và các hạng tử không chứa \( x \) về bên kia:
\[ m^2x - 4mx + 4x = -m - 4m \]
\[ (m^2 - 4m + 4)x = -5m \]

Bước 3: Giải phương trình theo \( x \):
\[ x = \frac{-5m}{m^2 - 4m + 4} \]

Bước 4: Biện luận theo \( m \):
- Nếu \( m^2 - 4m + 4 = 0 \) (tức là \( (m - 2)^2 = 0 \) hay \( m = 2 \)), phương trình trở thành:
\[ 4m = -5m \]
Đây là phương trình vô nghiệm.
- Nếu \( m \neq 2 \), ta có:
\[ x = \frac{-5m}{m^2 - 4m + 4} \]
Phương trình có nghiệm duy nhất là:
\[ x = \frac{-5m}{m^2 - 4m + 4} \]

Tóm lại, chúng ta đã giải và biện luận các phương trình theo tham số \( m \).