Cho \( \tan \alpha = -3 \). Ta có thể sử dụng định nghĩa của tang để tìm giá trị của \( \sin \alpha \) và \( \cos \alpha \).

Ta biết rằng:
\[ \tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = -3 \]

Giả sử \( \cos \alpha = x \), thì \( \sin \alpha = -3x \).

Sử dụng định lý Pythagore trong tam giác vuông:
\[ \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 \]
\[ (-3x)^2 + x^2 = 1 \]
\[ 9x^2 + x^2 = 1 \]
\[ 10x^2 = 1 \]
\[ x^2 = \frac{1}{10} \]
\[ x = \pm \frac{1}{\sqrt{10}} \]

Do \( \tan \alpha = -3 \) nên \( \cos \alpha \) và \( \sin \alpha \) phải có dấu trái ngược nhau. Vậy:
\[ \cos \alpha = \frac{1}{\sqrt{10}} \]
\[ \sin \alpha = -3 \cdot \frac{1}{\sqrt{10}} = -\frac{3}{\sqrt{10}} \]

Bây giờ ta tính giá trị của biểu thức:
\[ E = \frac{\cos \alpha + 4 \sin \alpha}{2 \cos \alpha + \sin \alpha} \]

Thay các giá trị đã tìm được vào:
\[ E = \frac{\frac{1}{\sqrt{10}} + 4 \left(-\frac{3}{\sqrt{10}}\right)}{2 \cdot \frac{1}{\sqrt{10}} + \left(-\frac{3}{\sqrt{10}}\right)} \]
\[ E = \frac{\frac{1}{\sqrt{10}} - \frac{12}{\sqrt{10}}}{\frac{2}{\sqrt{10}} - \frac{3}{\sqrt{10}}} \]
\[ E = \frac{\frac{1 - 12}{\sqrt{10}}}{\frac{2 - 3}{\sqrt{10}}} \]
\[ E = \frac{\frac{-11}{\sqrt{10}}}{\frac{-1}{\sqrt{10}}} \]
\[ E = \frac{-11}{-1} \]
\[ E = 11 \]

Vậy giá trị của biểu thức \( E \) là \( 11 \).