Để tính giá trị của \( P = \sqrt{\sin^4 a + \cos^4 a} \), ta bắt đầu từ điều kiện đã cho: \(\sin a - \cos a = \frac{1}{\sqrt{5}}\).

Bước 1: Bình phương hai vế của phương trình \(\sin a - \cos a = \frac{1}{\sqrt{5}}\):

\[
(\sin a - \cos a)^2 = \left(\frac{1}{\sqrt{5}}\right)^2
\]

\[
\sin^2 a - 2\sin a \cos a + \cos^2 a = \frac{1}{5}
\]

Bước 2: Sử dụng đẳng thức lượng giác \(\sin^2 a + \cos^2 a = 1\):

\[
1 - 2\sin a \cos a = \frac{1}{5}
\]

Bước 3: Giải phương trình để tìm \(\sin a \cos a\):

\[
1 - \frac{1}{5} = 2\sin a \cos a
\]

\[
\frac{4}{5} = 2\sin a \cos a
\]

\[
\sin a \cos a = \frac{2}{5}
\]

Bước 4: Tính \(\sin^4 a + \cos^4 a\) bằng cách sử dụng công thức:

\[
\sin^4 a + \cos^4 a = (\sin^2 a + \cos^2 a)^2 - 2\sin^2 a \cos^2 a
\]

\[
\sin^4 a + \cos^4 a = 1^2 - 2\left(\frac{2}{5}\right)^2
\]

\[
\sin^4 a + \cos^4 a = 1 - 2 \cdot \frac{4}{25}
\]

\[
\sin^4 a + \cos^4 a = 1 - \frac{8}{25}
\]

\[
\sin^4 a + \cos^4 a = \frac{25}{25} - \frac{8}{25}
\]

\[
\sin^4 a + \cos^4 a = \frac{17}{25}
\]

Bước 5: Tính giá trị của \( P \):

\[
P = \sqrt{\sin^4 a + \cos^4 a} = \sqrt{\frac{17}{25}} = \frac{\sqrt{17}}{5}
\]

Vậy giá trị của \( P \) là \(\frac{\sqrt{17}}{5}\).