Cho tam giác ABC cân tại A. Vẽ M / ẠC là trung thực BM. Vẽ N/ AB là trung trực CN. Chứng minh : BMCN là hình thang cân 

Để giải bài 1 và bài 3, chúng ta sẽ lần lượt đi qua từng bài.

### Bài 1:
Cho tam giác ABC cân tại A. Vẽ M trên AC là trung trực của BM. Vẽ N trên AB là trung trực của CN. Chứng minh rằng BMCN là hình thang cân.

**Giải:**

1. **Xét tam giác ABC cân tại A:**
- Do tam giác ABC cân tại A, nên AB = AC.

2. **Vẽ M trên AC là trung trực của BM:**
- Vì M là trung trực của BM, nên BM = CM và góc BMC = 90 độ.

3. **Vẽ N trên AB là trung trực của CN:**
- Vì N là trung trực của CN, nên BN = CN và góc BNC = 90 độ.

4. **Chứng minh BMCN là hình thang cân:**
- Xét tứ giác BMCN, ta có:
- BM = CM (do M là trung trực của BM).
- BN = CN (do N là trung trực của CN).
- Góc BMC = góc BNC = 90 độ.
- Do đó, BM song song với CN và BM = CN.
- Tứ giác BMCN có hai cạnh đối song song và bằng nhau, nên BMCN là hình thang cân.

### Bài 3:
Cho hình thang cân ABCD, AB // DC. Gọi AD cắt BC tại E, AC cắt BD tại F. M là trung điểm của AD, N là trung điểm của CD. Chứng minh rằng E, M, F, N thẳng hàng.

**Giải:**

1. **Xét hình thang cân ABCD:**
- AB // DC và AB = DC.

2. **Gọi AD cắt BC tại E, AC cắt BD tại F:**
- E là giao điểm của AD và BC.
- F là giao điểm của AC và BD.

3. **M là trung điểm của AD, N là trung điểm của CD:**
- M là trung điểm của AD.
- N là trung điểm của CD.

4. **Chứng minh E, M, F, N thẳng hàng:**
- Xét tam giác ABD và tam giác CBD:
- Do AB // DC, nên hai tam giác này đồng dạng với nhau.
- Xét đường trung bình của tam giác ABD và tam giác CBD:
- Đường trung bình của tam giác ABD đi qua trung điểm của AD và trung điểm của BD.
- Đường trung bình của tam giác CBD đi qua trung điểm của CD và trung điểm của BD.
- Do đó, E, M, F, N thẳng hàng theo định lý đường trung bình trong tam giác.

Vậy, chúng ta đã chứng minh được rằng E, M, F, N thẳng hàng trong hình thang cân ABCD.