Cho f(x) = ax^2 + bx + c (a khác 0)

Để chứng minh phương trình \( f(x) = 0 \) có hai nghiệm phân biệt, ta cần chứng minh rằng phương trình này có hai nghiệm thực và phân biệt. Điều này xảy ra khi và chỉ khi biệt thức (delta) của phương trình bậc hai \( ax^2 + bx + c = 0 \) lớn hơn 0.

Biệt thức (delta) của phương trình bậc hai \( ax^2 + bx + c = 0 \) được tính như sau:
\[ \Delta = b^2 - 4ac \]

Ta cần chứng minh rằng \( \Delta > 0 \).

Giả sử \( f(m) \cdot f(n) < 0 \) với \( f(x) = ax^2 + bx + c \). Điều này có nghĩa là \( f(m) \) và \( f(n) \) có dấu trái ngược nhau, tức là một trong hai giá trị \( f(m) \) và \( f(n) \) dương, còn giá trị kia âm.

Xét hàm số \( f(x) = ax^2 + bx + c \). Vì \( f(m) \cdot f(n) < 0 \), nên đồ thị của hàm số này (một parabol) phải cắt trục hoành tại hai điểm khác nhau, tức là phương trình \( f(x) = 0 \) có hai nghiệm phân biệt.

Nếu phương trình \( f(x) = 0 \) có hai nghiệm phân biệt, thì biệt thức của nó phải lớn hơn 0:
\[ \Delta = b^2 - 4ac > 0 \]

Vậy, từ điều kiện \( f(m) \cdot f(n) < 0 \), ta suy ra rằng phương trình \( f(x) = 0 \) có hai nghiệm phân biệt, tức là \( \Delta > 0 \).