Giải hệ phương trình bằng phương pháp đặt ấn phụ

Để giải các hệ phương trình bằng phương pháp đặt ẩn phụ, ta sẽ đặt các biểu thức phức tạp thành các ẩn phụ mới để đưa hệ phương trình về dạng bậc nhất hai ẩn. Sau đó, ta sẽ giải hệ phương trình bậc nhất này và tìm lại các giá trị của các ẩn ban đầu.

**a. Hệ phương trình:**
\[
\begin{cases}
4(1-3x) + 3(2y-7) = 6 \\
2(1-3x) + (2y-7) = 4
\end{cases}
\]

Đặt \( u = 1 - 3x \) và \( v = 2y - 7 \), ta có hệ phương trình:
\[
\begin{cases}
4u + 3v = 6 \\
2u + v = 4
\end{cases}
\]

Giải hệ phương trình này:
1. Nhân phương trình thứ hai với 2:
\[
2(2u + v) = 2 \cdot 4 \implies 4u + 2v = 8
\]

2. Trừ phương trình thứ nhất cho phương trình vừa nhân:
\[
(4u + 2v) - (4u + 3v) = 8 - 6 \implies -v = 2 \implies v = -2
\]

3. Thay \( v = -2 \) vào phương trình thứ hai:
\[
2u + (-2) = 4 \implies 2u - 2 = 4 \implies 2u = 6 \implies u = 3
\]

Vậy \( u = 3 \) và \( v = -2 \).

Quay lại các ẩn ban đầu:
\[
1 - 3x = 3 \implies -3x = 2 \implies x = -\frac{2}{3}
\]
\[
2y - 7 = -2 \implies 2y = 5 \implies y = \frac{5}{2}
\]

Vậy nghiệm của hệ phương trình là \( x = -\frac{2}{3} \) và \( y = \frac{5}{2} \).

**b. Hệ phương trình:**
\[
\begin{cases}
2(2x-3) - (y+2) = 4 \\
3(2x-3) - 2(y+x) = -5
\end{cases}
\]

Đặt \( u = 2x - 3 \) và \( v = y + 2 \), ta có hệ phương trình:
\[
\begin{cases}
2u - v = 4 \\
3u - 2(y + x) = -5
\end{cases}
\]

Giải hệ phương trình này:
1. Nhân phương trình thứ hai với 2:
\[
2(3u - 2(y + x)) = 2 \cdot -5 \implies 6u - 4(y + x) = -10
\]

2. Trừ phương trình thứ nhất cho phương trình vừa nhân:
\[
(6u - 4(y + x)) - (2u - v) = -10 - 4 \implies 4u - 4(y + x) + v = -14
\]

3. Thay \( v = y + 2 \):
\[
4u - 4(y + x) + (y + 2) = -14
\]

4. Giải phương trình này để tìm \( u \) và \( v \).

**c. Hệ phương trình:**
\[
\begin{cases}
3(2x-5) + (2-3y) = 3 \\
(2x-5) - \frac{1}{2}(2-3y) = 3.5
\end{cases}
\]

Đặt \( u = 2x - 5 \) và \( v = 2 - 3y \), ta có hệ phương trình:
\[
\begin{cases}
3u + v = 3 \\
u - \frac{1}{2}v = 3.5
\end{cases}
\]

Giải hệ phương trình này:
1. Nhân phương trình thứ hai với 2:
\[
2(u - \frac{1}{2}v) = 2 \cdot 3.5 \implies 2u - v = 7
\]

2. Giải hệ phương trình:
\[
\begin{cases}
3u + v = 3 \\
2u - v = 7
\end{cases}
\]

3. Cộng hai phương trình:
\[
(3u + v) + (2u - v) = 3 + 7 \implies 5u = 10 \implies u = 2
\]

4. Thay \( u = 2 \) vào phương trình thứ nhất:
\[
3(2) + v = 3 \implies 6 + v = 3 \implies v = -3
\]

Quay lại các ẩn ban đầu:
\[
2x - 5 = 2 \implies 2x = 7 \implies x = \frac{7}{2}
\]
\[
2 - 3y = -3 \implies -3y = -5 \implies y = \frac{5}{3}
\]

Vậy nghiệm của hệ phương trình là \( x = \frac{7}{2} \) và \( y = \frac{5}{3} \).