Chúng ta sẽ giải các phương trình theo từng bước.

### Phương trình 1:
\[ \frac{x-1}{x} + \frac{1-2x}{x(x+1)} = \frac{1}{x+1} \]

Bước 1: Quy đồng mẫu số:
\[ \frac{x-1}{x} + \frac{1-2x}{x(x+1)} = \frac{1}{x+1} \]
\[ \frac{(x-1)(x+1) + (1-2x)}{x(x+1)} = \frac{1}{x+1} \]

Bước 2: Rút gọn tử số:
\[ \frac{x^2 - 1 + 1 - 2x}{x(x+1)} = \frac{1}{x+1} \]
\[ \frac{x^2 - 2x}{x(x+1)} = \frac{1}{x+1} \]

Bước 3: Chia cả hai vế cho \(x+1\):
\[ \frac{x(x-2)}{x(x+1)} = \frac{1}{x+1} \]
\[ \frac{x-2}{x+1} = \frac{1}{x+1} \]

Bước 4: So sánh tử số:
\[ x - 2 = 1 \]
\[ x = 3 \]

### Phương trình 3:
\[ \frac{x+3}{x-3} = \frac{3}{x^2 - 3x} + \frac{1}{x} \]

Bước 1: Quy đồng mẫu số:
\[ \frac{x+3}{x-3} = \frac{3}{x(x-3)} + \frac{1}{x} \]
\[ \frac{x+3}{x-3} = \frac{3 + x-3}{x(x-3)} \]
\[ \frac{x+3}{x-3} = \frac{x}{x(x-3)} \]

Bước 2: Rút gọn:
\[ \frac{x+3}{x-3} = \frac{1}{x-3} \]

Bước 3: So sánh tử số:
\[ x + 3 = 1 \]
\[ x = -2 \]

Vậy nghiệm của các phương trình là:
1. \( x = 3 \)
3. \( x = -2 \)