Chứng minh ít nhất 1 trong 2 phương trình trên có nghiệm

Để chứng minh ít nhất một trong hai phương trình sau có nghiệm:
\[ x^2 + \sqrt{2} \left(a + \frac{1}{b}\right)x + \frac{25}{8} = 0 \]
\[ x^2 + \sqrt{3} \left(b + \frac{1}{a}\right)x + \frac{75}{16} = 0 \]
với \( a, b > 0 \) và \( a + b \leq 1 \), ta sẽ sử dụng định lý về nghiệm của phương trình bậc hai.

Xét phương trình thứ nhất:
\[ x^2 + \sqrt{2} \left(a + \frac{1}{b}\right)x + \frac{25}{8} = 0 \]

Phương trình bậc hai có nghiệm khi và chỉ khi biệt thức (delta) của nó không âm:
\[ \Delta_1 = \left(\sqrt{2} \left(a + \frac{1}{b}\right)\right)^2 - 4 \cdot 1 \cdot \frac{25}{8} \]
\[ \Delta_1 = 2 \left(a + \frac{1}{b}\right)^2 - \frac{100}{8} \]
\[ \Delta_1 = 2 \left(a + \frac{1}{b}\right)^2 - 12.5 \]

Xét phương trình thứ hai:
\[ x^2 + \sqrt{3} \left(b + \frac{1}{a}\right)x + \frac{75}{16} = 0 \]

Phương trình bậc hai có nghiệm khi và chỉ khi biệt thức (delta) của nó không âm:
\[ \Delta_2 = \left(\sqrt{3} \left(b + \frac{1}{a}\right)\right)^2 - 4 \cdot 1 \cdot \frac{75}{16} \]
\[ \Delta_2 = 3 \left(b + \frac{1}{a}\right)^2 - \frac{300}{16} \]
\[ \Delta_2 = 3 \left(b + \frac{1}{a}\right)^2 - 18.75 \]

Chúng ta cần chứng minh rằng ít nhất một trong hai biệt thức \(\Delta_1\) hoặc \(\Delta_2\) không âm. Để làm điều này, ta sẽ xét tổng của hai biệt thức:
\[ \Delta_1 + \Delta_2 = \left(2 \left(a + \frac{1}{b}\right)^2 - 12.5\right) + \left(3 \left(b + \frac{1}{a}\right)^2 - 18.75\right) \]
\[ \Delta_1 + \Delta_2 = 2 \left(a + \frac{1}{b}\right)^2 + 3 \left(b + \frac{1}{a}\right)^2 - 31.25 \]

Ta cần chứng minh rằng tổng này không âm, tức là:
\[ 2 \left(a + \frac{1}{b}\right)^2 + 3 \left(b + \frac{1}{a}\right)^2 \geq 31.25 \]

Sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz cho các số dương \(a\) và \(b\):
\[ \left(a + \frac{1}{b}\right)^2 \geq \left(\sqrt{a} \cdot \sqrt{\frac{1}{b}} + \sqrt{\frac{1}{b}} \cdot \sqrt{a}\right)^2 = \left(2\sqrt{\frac{a}{b}}\right)^2 = 4 \frac{a}{b} \]
\[ \left(b + \frac{1}{a}\right)^2 \geq \left(\sqrt{b} \cdot \sqrt{\frac{1}{a}} + \sqrt{\frac{1}{a}} \cdot \sqrt{b}\right)^2 = \left(2\sqrt{\frac{b}{a}}\right)^2 = 4 \frac{b}{a} \]

Do đó:
\[ 2 \left(a + \frac{1}{b}\right)^2 + 3 \left(b + \frac{1}{a}\right)^2 \geq 2 \cdot 4 \frac{a}{b} + 3 \cdot 4 \frac{b}{a} = 8 \frac{a}{b} + 12 \frac{b}{a} \]

Sử dụng bất đẳng thức AM-GM:
\[ 8 \frac{a}{b} + 12 \frac{b}{a} \geq 2 \sqrt{8 \frac{a}{b} \cdot 12 \frac{b}{a}} = 2 \sqrt{96} = 2 \cdot 4 \sqrt{6} = 8 \sqrt{6} \]

Ta có:
\[ 8 \sqrt{6} \approx 19.595 \]

Vì \( 19.595 < 31.25 \), điều này cho thấy rằng tổng của hai biệt thức không thể nhỏ hơn 31.25, do đó ít nhất một trong hai biệt thức phải không âm. Điều này chứng tỏ rằng ít nhất một trong hai phương trình đã cho có nghiệm.