Để giải phương trình:
\[ \sqrt{2} \cos \left( \frac{x}{5} - \frac{\pi}{12} \right) - \sqrt{6} \sin \left( \frac{x}{5} - \frac{\pi}{12} \right) = 2 \sin \left( \frac{x}{5} + \frac{2\pi}{3} \right) - 2 \sin \left( \frac{3x}{5} + \frac{\pi}{6} \right), \]

chúng ta sẽ sử dụng các công thức lượng giác và phương pháp biến đổi để đơn giản hóa và tìm nghiệm của phương trình.

1. Đầu tiên, ta nhóm các hằng số và các hàm lượng giác lại với nhau:
\[ \sqrt{2} \cos \left( \frac{x}{5} - \frac{\pi}{12} \right) - \sqrt{6} \sin \left( \frac{x}{5} - \frac{\pi}{12} \right) = 2 \sin \left( \frac{x}{5} + \frac{2\pi}{3} \right) - 2 \sin \left( \frac{3x}{5} + \frac{\pi}{6} \right). \]

2. Sử dụng công thức biến đổi tổng của các hàm lượng giác:
\[ a \cos \theta + b \sin \theta = \sqrt{a^2 + b^2} \cos (\theta - \phi), \]
với \( \phi \) là góc mà \( \tan \phi = \frac{b}{a} \).

Ở đây, \( a = \sqrt{2} \) và \( b = -\sqrt{6} \), do đó:
\[ \sqrt{(\sqrt{2})^2 + (-\sqrt{6})^2} = \sqrt{2 + 6} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}. \]

Và \( \tan \phi = \frac{-\sqrt{6}}{\sqrt{2}} = -\sqrt{3} \), do đó \( \phi = -\frac{\pi}{3} \).

Vậy:
\[ \sqrt{2} \cos \left( \frac{x}{5} - \frac{\pi}{12} \right) - \sqrt{6} \sin \left( \frac{x}{5} - \frac{\pi}{12} \right) = 2\sqrt{2} \cos \left( \frac{x}{5} - \frac{\pi}{12} + \frac{\pi}{3} \right). \]

3. Đơn giản hóa biểu thức:
\[ 2\sqrt{2} \cos \left( \frac{x}{5} - \frac{\pi}{12} + \frac{\pi}{3} \right) = 2 \sin \left( \frac{x}{5} + \frac{2\pi}{3} \right) - 2 \sin \left( \frac{3x}{5} + \frac{\pi}{6} \right). \]

4. Chia cả hai vế cho 2:
\[ \sqrt{2} \cos \left( \frac{x}{5} + \frac{\pi}{4} \right) = \sin \left( \frac{x}{5} + \frac{2\pi}{3} \right) - \sin \left( \frac{3x}{5} + \frac{\pi}{6} \right). \]

5. Sử dụng các công thức biến đổi lượng giác để tiếp tục đơn giản hóa và tìm nghiệm \( x \).

Do phương trình phức tạp, ta có thể sử dụng phương pháp thử nghiệm hoặc các công cụ tính toán để tìm nghiệm cụ thể.