Để tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \( A = (x - 1)^2 + (x - 3)^2 \), ta có thể làm như sau:

1. **Khai triển biểu thức:**

\[ A = (x - 1)^2 + (x - 3)^2 \]

Khai triển từng hạng tử:

\[ (x - 1)^2 = x^2 - 2x + 1 \]
\[ (x - 3)^2 = x^2 - 6x + 9 \]

Cộng hai biểu thức lại:

\[ A = (x^2 - 2x + 1) + (x^2 - 6x + 9) \]
\[ A = x^2 - 2x + 1 + x^2 - 6x + 9 \]
\[ A = 2x^2 - 8x + 10 \]

2. **Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm bậc hai:**

Biểu thức \( A = 2x^2 - 8x + 10 \) là một hàm bậc hai có dạng \( A = ax^2 + bx + c \) với \( a = 2 \), \( b = -8 \), và \( c = 10 \).

Giá trị nhỏ nhất của hàm bậc hai \( ax^2 + bx + c \) đạt được tại \( x = -\frac{b}{2a} \).

Áp dụng công thức:

\[ x = -\frac{-8}{2 \cdot 2} = \frac{8}{4} = 2 \]

3. **Tính giá trị nhỏ nhất của \( A \):**

Thay \( x = 2 \) vào biểu thức \( A \):

\[ A = 2(2)^2 - 8(2) + 10 \]
\[ A = 2 \cdot 4 - 8 \cdot 2 + 10 \]
\[ A = 8 - 16 + 10 \]
\[ A = 2 \]

Vậy giá trị nhỏ nhất của \( A \) là \( 2 \).