Để chứng minh ba điểm A, B, C cùng thuộc một đường tròn, ta cần chứng minh rằng ba điểm này nằm trên một đường tròn duy nhất. Một cách để làm điều này là chứng minh rằng tam giác ABC có thể được nội tiếp trong một đường tròn.

Tam giác ABC vuông tại A, có AB = 5 cm và AC = 12 cm. Ta sẽ sử dụng định lý đường tròn ngoại tiếp tam giác vuông, theo đó đường tròn ngoại tiếp tam giác vuông có đường kính là cạnh huyền của tam giác.

1. **Tính độ dài cạnh huyền BC:**

Sử dụng định lý Pythagore cho tam giác vuông ABC:
\[
BC^2 = AB^2 + AC^2
\]
Thay số vào:
\[
BC^2 = 5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169
\]
Do đó:
\[
BC = \sqrt{169} = 13 \text{ cm}
\]

2. **Xác định đường tròn ngoại tiếp:**

Đường tròn ngoại tiếp tam giác vuông ABC có đường kính là cạnh huyền BC. Do đó, bán kính của đường tròn này là:
\[
R = \frac{BC}{2} = \frac{13}{2} = 6.5 \text{ cm}
\]

3. **Chứng minh ba điểm A, B, C cùng thuộc một đường tròn:**

Vì tam giác ABC vuông tại A và cạnh huyền BC là đường kính của đường tròn ngoại tiếp, nên theo định lý đường tròn ngoại tiếp tam giác vuông, ba điểm A, B, C đều nằm trên đường tròn có đường kính BC.

Như vậy, ta đã chứng minh được rằng ba điểm A, B, C cùng thuộc một đường tròn.