Để chứng minh các đẳng thức trong bài 12, ta sẽ thực hiện các phép biến đổi đại số cần thiết. Dưới đây là lời giải chi tiết cho từng phần:

a) Chứng minh đẳng thức:
\[ (x - y)(x^4 + x^3y + x^2y^2 + xy^3 + y^4) = x^5 - y^5 \]

Ta có:
\[ x^5 - y^5 = (x - y)(x^4 + x^3y + x^2y^2 + xy^3 + y^4) \]

Đây là công thức hiệu hai lũy thừa bậc năm:
\[ x^5 - y^5 = (x - y)(x^4 + x^3y + x^2y^2 + xy^3 + y^4) \]

Do đó, đẳng thức đã được chứng minh.

b) Chứng minh đẳng thức:
\[ (a + b)(a^2 - ab + b^2) = a^3 + b^3 \]

Ta có:
\[ a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2) \]

Đây là công thức tổng hai lũy thừa bậc ba:
\[ a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2) \]

Do đó, đẳng thức đã được chứng minh.

c) Chứng minh đẳng thức:
\[ (x - 1)(x^2 + x + 1) = x^3 - 1 \]

Ta có:
\[ x^3 - 1 = (x - 1)(x^2 + x + 1) \]

Đây là công thức hiệu hai lũy thừa bậc ba:
\[ x^3 - 1 = (x - 1)(x^2 + x + 1) \]

Do đó, đẳng thức đã được chứng minh.

d) Chứng minh đẳng thức:
\[ (x^3 + x^2y + xy^2 + y^3)(x - y) = x^4 - y^4 \]

Ta có:
\[ x^4 - y^4 = (x^2 - y^2)(x^2 + y^2) \]
\[ x^4 - y^4 = (x - y)(x + y)(x^2 + y^2) \]

Nhưng ta cần chứng minh:
\[ (x^3 + x^2y + xy^2 + y^3)(x - y) = x^4 - y^4 \]

Ta nhận thấy rằng:
\[ x^3 + x^2y + xy^2 + y^3 = (x + y)(x^2 + y^2) \]

Do đó:
\[ (x^3 + x^2y + xy^2 + y^3)(x - y) = (x + y)(x^2 + y^2)(x - y) \]
\[ = (x - y)(x + y)(x^2 + y^2) \]
\[ = x^4 - y^4 \]

Do đó, đẳng thức đã được chứng minh.