Để giải bài toán này, chúng ta sẽ phân tích từng giai đoạn của hành trình và tính toán các thông số cần thiết.

### a. Tính tốc độ trung bình của xe máy chở A khi đi từ nhà đến trường

1. **Giai đoạn 1: Từ 7 giờ đến 7 giờ 5 phút**
- Thời gian: 5 phút = 5/60 giờ = 1/12 giờ
- Tốc độ: 30 km/h
- Quãng đường: \( S_1 = v_1 \times t_1 = 30 \times \frac{1}{12} = 2.5 \) km

2. **Giai đoạn 2: Từ 7 giờ 5 phút đến 7 giờ 15 phút**
- Thời gian: 10 phút = 10/60 giờ = 1/6 giờ
- Tốc độ: 30 km/h
- Quãng đường: \( S_2 = v_2 \times t_2 = 30 \times \frac{1}{6} = 5 \) km

3. **Giai đoạn 3: Từ 7 giờ 15 phút đến 7 giờ 30 phút**
- Thời gian: 15 phút = 15/60 giờ = 1/4 giờ
- Tốc độ: 45 km/h (tăng thêm 15 km/h so với giai đoạn trước)
- Quãng đường: \( S_3 = v_3 \times t_3 = 45 \times \frac{1}{4} = 11.25 \) km

Tổng quãng đường từ nhà đến trường là:
\[ S = S_1 + S_2 + S_3 = 2.5 + 5 + 11.25 = 18.75 \text{ km} \]

Tổng thời gian từ nhà đến trường là:
\[ T = t_1 + t_2 + t_3 = \frac{1}{12} + \frac{1}{6} + \frac{1}{4} = \frac{1 + 2 + 3}{12} = \frac{6}{12} = 0.5 \text{ giờ} \]

Tốc độ trung bình:
\[ v_{\text{tb}} = \frac{S}{T} = \frac{18.75}{0.5} = 37.5 \text{ km/h} \]

### b. Tính tốc độ của xe vào lúc 7 giờ 15 phút và 7 giờ 30 phút

- **Lúc 7 giờ 15 phút**: Xe đang chạy với tốc độ 30 km/h (vì từ 7 giờ 5 phút đến 7 giờ 15 phút xe vẫn giữ nguyên tốc độ 30 km/h).
- **Lúc 7 giờ 30 phút**: Xe đã tăng tốc lên 45 km/h (từ 7 giờ 15 phút đến 7 giờ 30 phút xe tăng thêm 15 km/h).

Tốc độ này là tốc độ tức thời tại các thời điểm được đề cập.

### Kết luận:
a. Tốc độ trung bình của xe máy chở A từ nhà đến trường là 37.5 km/h.
b. Tốc độ của xe vào lúc 7 giờ 15 phút là 30 km/h và vào lúc 7 giờ 30 phút là 45 km/h. Tốc độ này là tốc độ tức thời.