Để chứng minh tứ giác AHCK là hình bình hành, ta cần chứng minh rằng hai cặp cạnh đối của tứ giác này song song và bằng nhau. Dưới đây là các bước chi tiết:

1. **Xét hình bình hành ABCD:**
- Ta có: \( AB \parallel CD \) và \( AD \parallel BC \).
- Đường chéo BD cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường chéo.

2. **Hạ AH và CK vuông góc với BD:**
- AH và CK là các đường cao từ A và C xuống BD.
- Gọi H và K là chân đường vuông góc từ A và C xuống BD.

3. **Chứng minh AHCK là hình bình hành:**
- Ta cần chứng minh rằng \( AH \parallel CK \) và \( AH = CK \), hoặc \( AK \parallel CH \) và \( AK = CH \).

4. **Chứng minh \( AH \parallel CK \) và \( AH = CK \):**
- Vì AH và CK đều vuông góc với BD, nên \( AH \parallel CK \).
- Trong hình bình hành ABCD, các đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường chéo. Do đó, BD chia hình bình hành thành hai tam giác bằng nhau: \( \triangle ABD \) và \( \triangle CBD \).
- Vì \( \triangle ABD \) và \( \triangle CBD \) bằng nhau, nên các đường cao từ A và C xuống BD cũng bằng nhau. Do đó, \( AH = CK \).

5. **Chứng minh \( AK \parallel CH \) và \( AK = CH \):**
- Vì \( AH \parallel CK \) và \( AH = CK \), ta có thể suy ra rằng \( AK \parallel CH \) và \( AK = CH \).

Từ các bước trên, ta đã chứng minh được rằng tứ giác AHCK có hai cặp cạnh đối song song và bằng nhau. Do đó, tứ giác AHCK là hình bình hành.

Vậy, tứ giác AHCK là hình bình hành.