Để giải bài toán này, ta cần sử dụng các tính chất của tam giác vuông và các hình chiếu vuông góc. Đầu tiên, ta sẽ phân tích các yếu tố đã cho và tìm các mối quan hệ giữa chúng.

1. **Tam giác ABC vuông tại A:**
- \( \angle BAC = 90^\circ \)
- Đường cao AH từ A vuông góc với BC.

2. **Hình chiếu vuông góc của H lên AB và AC:**
- D là hình chiếu vuông góc của H lên AB.
- E là hình chiếu vuông góc của H lên AC.

3. **Tỉ lệ DE/BC:**
- \( \frac{DE}{BC} = \frac{\sqrt{3}}{4} \)

Do tam giác ABC vuông tại A, ta có thể sử dụng các tính chất của tam giác vuông và đường cao để tìm các mối quan hệ giữa các đoạn thẳng và góc.

### Bước 1: Xác định các đoạn thẳng liên quan
- Đường cao AH chia tam giác ABC thành hai tam giác vuông nhỏ hơn là AHB và AHC.
- Ta có:
\[
\text{DE} = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot BC
\]

### Bước 2: Xác định các góc trong tam giác HDE
- Tam giác HDE là tam giác vuông tại H vì D và E là các hình chiếu vuông góc của H lên AB và AC.
- Do đó, \( \angle DHE = 90^\circ \).

### Bước 3: Sử dụng tỉ lệ DE/BC để tìm các góc còn lại
- Ta biết rằng \( \frac{DE}{BC} = \frac{\sqrt{3}}{4} \).
- Để tìm các góc \( \angle HDE \) và \( \angle HED \), ta cần sử dụng các tính chất của tam giác vuông và tỉ lệ đã cho.

### Bước 4: Sử dụng định lý lượng giác trong tam giác vuông
- Trong tam giác vuông HDE, ta có:
\[
\tan(\angle HDE) = \frac{HE}{HD}
\]
- Do \( \angle DHE = 90^\circ \), ta có:
\[
\angle HDE + \angle HED = 90^\circ
\]

### Bước 5: Sử dụng tỉ lệ DE/BC để tìm góc
- Ta có thể sử dụng tỉ lệ này để suy ra các góc trong tam giác HDE. Tuy nhiên, do không có thêm thông tin về các cạnh khác, ta sẽ sử dụng tính chất đặc biệt của tam giác vuông và tỉ lệ đã cho.

### Kết luận
- Tam giác HDE là tam giác vuông tại H.
- Do \( \frac{DE}{BC} = \frac{\sqrt{3}}{4} \), ta có thể suy ra rằng tam giác HDE là tam giác vuông cân với các góc \( 30^\circ \) và \( 60^\circ \).

Vậy, các góc của tam giác HDE là:
- \( \angle HDE = 30^\circ \)
- \( \angle HED = 60^\circ \)
- \( \angle DHE = 90^\circ \)