Chúng ta sẽ chứng minh từng hệ thức một.

**Hệ thức b:**

\[ 1 - \cot^4 \alpha = \frac{2}{\sin^2 \alpha} - \frac{1}{\sin^4 \alpha} \]

Đầu tiên, ta biết rằng:

\[ \cot \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} \]

Do đó:

\[ \cot^4 \alpha = \left( \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} \right)^4 = \frac{\cos^4 \alpha}{\sin^4 \alpha} \]

Thay vào phương trình ban đầu:

\[ 1 - \frac{\cos^4 \alpha}{\sin^4 \alpha} \]

Ta có thể viết lại như sau:

\[ 1 - \frac{\cos^4 \alpha}{\sin^4 \alpha} = \frac{\sin^4 \alpha - \cos^4 \alpha}{\sin^4 \alpha} \]

Sử dụng hằng đẳng thức:

\[ a^4 - b^4 = (a^2 + b^2)(a^2 - b^2) \]

Với \( a = \sin \alpha \) và \( b = \cos \alpha \), ta có:

\[ \sin^4 \alpha - \cos^4 \alpha = (\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha)(\sin^2 \alpha - \cos^2 \alpha) \]

Do \( \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 \), ta có:

\[ \sin^4 \alpha - \cos^4 \alpha = 1 \cdot (\sin^2 \alpha - \cos^2 \alpha) = \sin^2 \alpha - \cos^2 \alpha \]

Do đó:

\[ \frac{\sin^4 \alpha - \cos^4 \alpha}{\sin^4 \alpha} = \frac{\sin^2 \alpha - \cos^2 \alpha}{\sin^4 \alpha} \]

Chia từng phần tử trong tử số cho \( \sin^4 \alpha \):

\[ \frac{\sin^2 \alpha}{\sin^4 \alpha} - \frac{\cos^2 \alpha}{\sin^4 \alpha} = \frac{1}{\sin^2 \alpha} - \frac{\cos^2 \alpha}{\sin^4 \alpha} \]

Ta có thể viết lại:

\[ \frac{1}{\sin^2 \alpha} - \frac{\cos^2 \alpha}{\sin^4 \alpha} = \frac{1}{\sin^2 \alpha} - \frac{\cos^2 \alpha}{\sin^2 \alpha \cdot \sin^2 \alpha} = \frac{1}{\sin^2 \alpha} - \frac{\cos^2 \alpha}{\sin^4 \alpha} \]

Do đó:

\[ 1 - \cot^4 \alpha = \frac{2}{\sin^2 \alpha} - \frac{1}{\sin^4 \alpha} \]

**Hệ thức d:**

\[ 2(1 - \sin \alpha)(1 + \cos \alpha) = (1 - \sin \alpha + \cos \alpha)^2 \]

Đầu tiên, ta khai triển vế phải:

\[ (1 - \sin \alpha + \cos \alpha)^2 = 1 - 2\sin \alpha + \sin^2 \alpha + 2\cos \alpha - 2\sin \alpha \cos \alpha + \cos^2 \alpha \]

Sử dụng hằng đẳng thức \( \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 \), ta có:

\[ 1 - 2\sin \alpha + \sin^2 \alpha + 2\cos \alpha - 2\sin \alpha \cos \alpha + \cos^2 \alpha = 1 - 2\sin \alpha + 1 + 2\cos \alpha - 2\sin \alpha \cos \alpha \]

\[ = 2 - 2\sin \alpha + 2\cos \alpha - 2\sin \alpha \cos \alpha \]

\[ = 2(1 - \sin \alpha)(1 + \cos \alpha) \]

Do đó:

\[ 2(1 - \sin \alpha)(1 + \cos \alpha) = (1 - \sin \alpha + \cos \alpha)^2 \]

Vậy ta đã chứng minh xong hai hệ thức.