Để giải bài toán này, ta sẽ thực hiện các bước sau:

### a) Tính \( HB \) và \( AH \). Tính \(\frac{DA}{DC}\)

1. **Tính \( BC \) bằng định lý Pythagore:**
\[
BC = \sqrt{AB^2 + AC^2} = \sqrt{9^2 + 12^2} = \sqrt{81 + 144} = \sqrt{225} = 15 \text{ cm}
\]

2. **Tính \( AH \) bằng công thức đường cao trong tam giác vuông:**
\[
AH = \frac{AB \cdot AC}{BC} = \frac{9 \cdot 12}{15} = \frac{108}{15} = 7.2 \text{ cm}
\]

3. **Tính \( HB \) và \( HC \) bằng cách sử dụng diện tích tam giác:**
\[
S_{\Delta ABC} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AC = \frac{1}{2} \cdot 9 \cdot 12 = 54 \text{ cm}^2
\]
\[
S_{\Delta ABC} = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot AH = \frac{1}{2} \cdot 15 \cdot 7.2 = 54 \text{ cm}^2
\]
\[
HB = \frac{AB^2}{BC} = \frac{9^2}{15} = \frac{81}{15} = 5.4 \text{ cm}
\]
\[
HC = \frac{AC^2}{BC} = \frac{12^2}{15} = \frac{144}{15} = 9.6 \text{ cm}
\]

4. **Tính \(\frac{DA}{DC}\) bằng định lý phân giác:**
\[
\frac{DA}{DC} = \frac{AB}{BC} = \frac{9}{15} = \frac{3}{5}
\]

### b) Chứng minh \( \Delta BEH \sim \Delta BCI \). Suy ra \( BE \cdot BI = BH \cdot BC \).

1. **Chứng minh \( \Delta BEH \sim \Delta BCI \):**
- \( \angle BEH = \angle BCI = 90^\circ \) (vì \( AH \) và \( CI \) đều vuông góc với \( BC \))
- \( \angle BHE = \angle BIC \) (vì \( \angle BHE \) và \( \angle BIC \) là góc phụ nhau)

Do đó, \( \Delta BEH \sim \Delta BCI \) (góc - góc).

2. **Suy ra \( BE \cdot BI = BH \cdot BC \):**
- Từ tính chất của tam giác đồng dạng, ta có:
\[
\frac{BE}{BH} = \frac{BI}{BC}
\]
- Suy ra:
\[
BE \cdot BC = BH \cdot BI
\]
- Do đó:
\[
BE \cdot BI = BH \cdot BC
\]

### c) Chứng minh \( BE \cdot BI + CB \cdot CH = BC^2 \)

1. **Từ kết quả của phần b, ta có:**
\[
BE \cdot BI = BH \cdot BC
\]

2. **Sử dụng \( CB = BC \) và \( CH = HC \):**
\[
CB \cdot CH = BC \cdot HC
\]

3. **Cộng hai phương trình lại:**
\[
BE \cdot BI + CB \cdot CH = BH \cdot BC + BC \cdot HC
\]

4. **Thay \( BH \) và \( HC \) vào:**
\[
BH + HC = BC
\]
\[
BH \cdot BC + BC \cdot HC = BC \cdot (BH + HC) = BC \cdot BC = BC^2
\]

Do đó, ta có:
\[
BE \cdot BI + CB \cdot CH = BC^2
\]

Vậy, ta đã chứng minh được các yêu cầu của bài toán.