Để tìm tập xác định (TXĐ) của các hàm số, chúng ta cần xác định các giá trị của \( x \) mà hàm số được xác định (không bị chia cho 0, không có căn bậc hai của số âm, không có giá trị không xác định của các hàm lượng giác, v.v.).

a) \( y = \frac{1 + x}{\sin x - 1} + \frac{\sin x}{\cos(x - 2)} \)

- Điều kiện 1: \(\sin x - 1 \neq 0 \Rightarrow \sin x \neq 1 \Rightarrow x \neq \frac{\pi}{2} + 2k\pi\) với \(k \in \mathbb{Z}\).
- Điều kiện 2: \(\cos(x - 2) \neq 0 \Rightarrow x - 2 \neq \frac{\pi}{2} + k\pi \Rightarrow x \neq 2 + \frac{\pi}{2} + k\pi\) với \(k \in \mathbb{Z}\).

Vậy tập xác định của hàm số là: \( x \in \mathbb{R} \setminus \left\{ \frac{\pi}{2} + 2k\pi, 2 + \frac{\pi}{2} + k\pi \right\} \) với \( k \in \mathbb{Z} \).

b) \( y = \frac{2 - \sin x}{2 + \cos x} + \frac{\sin(2x - 1)}{\cos\left(x - \frac{\pi}{3}\right)} \)

- Điều kiện 1: \(2 + \cos x \neq 0 \Rightarrow \cos x \neq -2\). Điều này luôn đúng vì \(\cos x\) chỉ nằm trong khoảng \([-1, 1]\).
- Điều kiện 2: \(\cos\left(x - \frac{\pi}{3}\right) \neq 0 \Rightarrow x - \frac{\pi}{3} \neq \frac{\pi}{2} + k\pi \Rightarrow x \neq \frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{2} + k\pi \Rightarrow x \neq \frac{5\pi}{6} + k\pi\) với \(k \in \mathbb{Z}\).

Vậy tập xác định của hàm số là: \( x \in \mathbb{R} \setminus \left\{ \frac{5\pi}{6} + k\pi \right\} \) với \( k \in \mathbb{Z} \).

c) \( y = \frac{2 - \sin x}{\sqrt{1 - \sin x}} \)

- Điều kiện 1: \(1 - \sin x \geq 0 \Rightarrow \sin x \leq 1\). Điều này luôn đúng vì \(\sin x\) nằm trong khoảng \([-1, 1]\).
- Điều kiện 2: \(1 - \sin x \neq 0 \Rightarrow \sin x \neq 1 \Rightarrow x \neq \frac{\pi}{2} + 2k\pi\) với \(k \in \mathbb{Z}\).

Vậy tập xác định của hàm số là: \( x \in \mathbb{R} \setminus \left\{ \frac{\pi}{2} + 2k\pi \right\} \) với \( k \in \mathbb{Z} \).

d) \( y = \frac{2 - x}{\cot\left(x - \frac{\pi}{4}\right) + 1} \)

- Điều kiện 1: \(\cot\left(x - \frac{\pi}{4}\right) + 1 \neq 0 \Rightarrow \cot\left(x - \frac{\pi}{4}\right) \neq -1 \Rightarrow x - \frac{\pi}{4} \neq \cot^{-1}(-1) + k\pi \Rightarrow x \neq \frac{\pi}{4} + \frac{3\pi}{4} + k\pi \Rightarrow x \neq \pi + k\pi\) với \(k \in \mathbb{Z}\).

Vậy tập xác định của hàm số là: \( x \in \mathbb{R} \setminus \left\{ \pi + k\pi \right\} \) với \( k \in \mathbb{Z} \).

e) \( y = \frac{\cot 2x}{\tan 2x - \sin 2x} \)

- Điều kiện 1: \(\tan 2x - \sin 2x \neq 0 \Rightarrow \sin 2x \neq \tan 2x \Rightarrow \sin 2x \neq \frac{\sin 2x}{\cos 2x} \Rightarrow \cos 2x \neq 1\). Điều này luôn đúng vì \(\cos 2x\) nằm trong khoảng \([-1, 1]\).

Vậy tập xác định của hàm số là: \( x \in \mathbb{R} \).