### Bài 1: Tính cot α khi biết cosα - sinα = 1/5

Cho góc nhọn α, ta có phương trình:
\[ \cos \alpha - \sin \alpha = \frac{1}{5} \]

Để tìm cot α, ta sẽ sử dụng một số biến đổi và công thức lượng giác.

Đầu tiên, ta bình phương hai vế của phương trình:
\[ (\cos \alpha - \sin \alpha)^2 = \left(\frac{1}{5}\right)^2 \]
\[ \cos^2 \alpha - 2 \cos \alpha \sin \alpha + \sin^2 \alpha = \frac{1}{25} \]

Sử dụng công thức lượng giác cơ bản:
\[ \cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha = 1 \]

Thay vào phương trình trên:
\[ 1 - 2 \cos \alpha \sin \alpha = \frac{1}{25} \]
\[ 2 \cos \alpha \sin \alpha = 1 - \frac{1}{25} \]
\[ 2 \cos \alpha \sin \alpha = \frac{24}{25} \]
\[ \cos \alpha \sin \alpha = \frac{12}{25} \]

Ta có:
\[ \sin 2\alpha = 2 \cos \alpha \sin \alpha = \frac{24}{25} \]

Tiếp theo, ta cần tìm cot α, tức là:
\[ \cot \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} \]

Sử dụng phương trình ban đầu:
\[ \cos \alpha - \sin \alpha = \frac{1}{5} \]

Đặt \( \cos \alpha = x \) và \( \sin \alpha = y \), ta có:
\[ x - y = \frac{1}{5} \]
\[ x^2 + y^2 = 1 \]
\[ xy = \frac{12}{25} \]

Ta có hệ phương trình:
\[ x - y = \frac{1}{5} \]
\[ x^2 + y^2 = 1 \]
\[ xy = \frac{12}{25} \]

Giải hệ phương trình này, ta có:
\[ (x - y)^2 = x^2 - 2xy + y^2 \]
\[ \left(\frac{1}{5}\right)^2 = 1 - 2 \cdot \frac{12}{25} \]
\[ \frac{1}{25} = 1 - \frac{24}{25} \]
\[ \frac{1}{25} = \frac{1}{25} \]

Từ đó, ta có:
\[ x + y = \sqrt{2} \]

Vậy:
\[ \cot \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} = \frac{x}{y} \]

### Bài 2: Giải tam giác ABC vuông tại A, biết AB = 3,8 cm và góc B = 51°

Cho tam giác ABC vuông tại A, ta có:
\[ AB = 3,8 \, \text{cm} \]
\[ \angle B = 51^\circ \]

Ta cần tìm các cạnh còn lại của tam giác.

Sử dụng định lý lượng giác trong tam giác vuông:
\[ \sin B = \frac{AC}{BC} \]
\[ \cos B = \frac{AB}{BC} \]

Ta có:
\[ \cos 51^\circ = \frac{AB}{BC} \]
\[ BC = \frac{AB}{\cos 51^\circ} \]
\[ BC = \frac{3,8}{\cos 51^\circ} \]

Tính giá trị:
\[ \cos 51^\circ \approx 0,6293 \]
\[ BC \approx \frac{3,8}{0,6293} \approx 6,04 \, \text{cm} \]

Tiếp theo, ta tính AC:
\[ \sin 51^\circ = \frac{AC}{BC} \]
\[ AC = BC \cdot \sin 51^\circ \]
\[ \sin 51^\circ \approx 0,7771 \]
\[ AC \approx 6,04 \cdot 0,7771 \approx 4,69 \, \text{cm} \]

Vậy các cạnh của tam giác ABC là:
\[ AB = 3,8 \, \text{cm} \]
\[ BC \approx 6,04 \, \text{cm} \]
\[ AC \approx 4,69 \, \text{cm} \]