Dưới đây là lời giải cho các phương trình trong bài tập:

### Bài 28:
#### a) \(\sin\left(x + \frac{\pi}{3}\right) = \sin 3x\)

Ta có:
\[
\sin A = \sin B \Rightarrow A = B + 2k\pi \text{ hoặc } A = \pi - B + 2k\pi \text{ với } k \in \mathbb{Z}
\]

Áp dụng vào phương trình:
\[
x + \frac{\pi}{3} = 3x + 2k\pi \Rightarrow -2x = 2k\pi - \frac{\pi}{3} \Rightarrow x = -k\pi + \frac{\pi}{6}
\]
hoặc
\[
x + \frac{\pi}{3} = \pi - 3x + 2k\pi \Rightarrow 4x = \pi + 2k\pi - \frac{\pi}{3} \Rightarrow x = \frac{(3 + 6k)\pi}{12} = \frac{(1 + 2k)\pi}{4}
\]

#### b) \(\sin\left(2x - \frac{\pi}{4}\right) + \sin x = 0\)

Sử dụng công thức cộng:
\[
\sin A + \sin B = 2 \sin\left(\frac{A + B}{2}\right) \cos\left(\frac{A - B}{2}\right)
\]

Áp dụng vào phương trình:
\[
\sin\left(2x - \frac{\pi}{4}\right) + \sin x = 2 \sin\left(\frac{3x - \frac{\pi}{4}}{2}\right) \cos\left(\frac{x - \frac{\pi}{4}}{2}\right) = 0
\]

Do đó, ta có hai trường hợp:
\[
\sin\left(\frac{3x - \frac{\pi}{4}}{2}\right) = 0 \Rightarrow \frac{3x - \frac{\pi}{4}}{2} = k\pi \Rightarrow 3x - \frac{\pi}{4} = 2k\pi \Rightarrow x = \frac{2k\pi + \frac{\pi}{4}}{3}
\]
hoặc
\[
\cos\left(\frac{x - \frac{\pi}{4}}{2}\right) = 0 \Rightarrow \frac{x - \frac{\pi}{4}}{2} = \frac{\pi}{2} + k\pi \Rightarrow x - \frac{\pi}{4} = \pi + 2k\pi \Rightarrow x = \pi + 2k\pi + \frac{\pi}{4}
\]

#### c) \(\cos\left(x - \frac{\pi}{4}\right) + \cos 2x = 0\)

Sử dụng công thức cộng:
\[
\cos A + \cos B = 2 \cos\left(\frac{A + B}{2}\right) \cos\left(\frac{A - B}{2}\right)
\]

Áp dụng vào phương trình:
\[
\cos\left(x - \frac{\pi}{4}\right) + \cos 2x = 2 \cos\left(\frac{3x - \frac{\pi}{4}}{2}\right) \cos\left(\frac{-x - \frac{\pi}{4}}{2}\right) = 0
\]

Do đó, ta có hai trường hợp:
\[
\cos\left(\frac{3x - \frac{\pi}{4}}{2}\right) = 0 \Rightarrow \frac{3x - \frac{\pi}{4}}{2} = \frac{\pi}{2} + k\pi \Rightarrow 3x - \frac{\pi}{4} = \pi + 2k\pi \Rightarrow x = \frac{\pi + 2k\pi + \frac{\pi}{4}}{3}
\]
hoặc
\[
\cos\left(\frac{-x - \frac{\pi}{4}}{2}\right) = 0 \Rightarrow \frac{-x - \frac{\pi}{4}}{2} = \frac{\pi}{2} + k\pi \Rightarrow -x - \frac{\pi}{4} = \pi + 2k\pi \Rightarrow x = -\pi - 2k\pi - \frac{\pi}{4}
\]

#### d) \(\cos x + \sin 4x = 0\)

Sử dụng công thức:
\[
\sin 4x = 2 \sin 2x \cos 2x = 2 (2 \sin x \cos x) \cos 2x = 4 \sin x \cos x \cos 2x
\]

Áp dụng vào phương trình:
\[
\cos x + 4 \sin x \cos x \cos 2x = 0 \Rightarrow \cos x (1 + 4 \sin x \cos 2x) = 0
\]

Do đó, ta có hai trường hợp:
\[
\cos x = 0 \Rightarrow x = \frac{\pi}{2} + k\pi
\]
hoặc
\[
1 + 4 \sin x \cos 2x = 0 \Rightarrow 4 \sin x \cos 2x = -1
\]

### Bài 29:
#### a) \(\sin^2\left(x + \frac{\pi}{6}\right) = \cos^2 2x\)

Sử dụng công thức:
\[
\sin^2 A = 1 - \cos^2 A
\]

Áp dụng vào phương trình:
\[
1 - \cos^2\left(x + \frac{\pi}{6}\right) = \cos^2 2x \Rightarrow \cos^2\left(x + \frac{\pi}{6}\right) + \cos^2 2x = 1
\]

#### b) \(2 \sin x \sin\left(x + \frac{\pi}{2}\right) = \cos^2 2x - \sin^2 2x\)

Sử dụng công thức:
\[
\sin\left(x + \frac{\pi}{2}\right) = \cos x
\]

Áp dụng vào phương trình:
\[
2 \sin x \cos x = \cos^2 2x - \sin^2 2x
\]

Sử dụng công thức:
\[
\cos^2 A - \sin^2 A = \cos 2A
\]

Áp dụng vào phương trình:
\[
2 \sin x \cos x = \cos 4x
\]

### Bài 30:
Tìm nghiệm âm lớn nhất và nghiệm dương bé nhất của phương trình.