Để giải quyết các bài toán này, chúng ta sẽ lần lượt chứng minh và tính toán theo từng phần.

### Phần a:
Chứng minh \( AB^2 = BH \cdot BC \) và suy ra độ dài của \( BH \) và \( CH \).

1. **Chứng minh \( AB^2 = BH \cdot BC \)**:
- Trong tam giác vuông \( ABC \) vuông tại \( A \), ta có:
\[
AB^2 + AC^2 = BC^2
\]
Thay \( AB = 15 \) cm và \( AC = 20 \) cm vào, ta có:
\[
15^2 + 20^2 = BC^2 \implies 225 + 400 = BC^2 \implies BC^2 = 625 \implies BC = 25 \text{ cm}
\]

- Đường cao \( AH \) từ \( A \) vuông góc với \( BC \) chia tam giác \( ABC \) thành hai tam giác vuông nhỏ hơn là \( ABH \) và \( ACH \). Theo định lý đường cao trong tam giác vuông, ta có:
\[
AB^2 = BH \cdot BC
\]
Thay \( AB = 15 \) cm và \( BC = 25 \) cm vào, ta có:
\[
15^2 = BH \cdot 25 \implies 225 = BH \cdot 25 \implies BH = \frac{225}{25} = 9 \text{ cm}
\]

2. **Tính \( CH \)**:
- Vì \( H \) nằm trên \( BC \) và \( BH + CH = BC \), ta có:
\[
CH = BC - BH = 25 - 9 = 16 \text{ cm}
\]

### Phần b:
Kẻ \( HM \) và \( HN \) vuông góc với \( AB \) và \( AC \). Chứng minh \( AM \cdot AB = AN \cdot AC \) và suy ra tam giác \( AMN \sim \) tam giác \( ACB \).

1. **Chứng minh \( AM \cdot AB = AN \cdot AC \)**:
- Xét tam giác vuông \( AMH \) và \( ANH \):
\[
AM \cdot AB = AN \cdot AC
\]
Vì \( HM \parallel AC \) và \( HN \parallel AB \), ta có:
\[
\frac{AM}{AC} = \frac{AH}{BC} \quad \text{và} \quad \frac{AN}{AB} = \frac{AH}{BC}
\]
Do đó:
\[
AM \cdot AB = AN \cdot AC
\]

2. **Suy ra tam giác \( AMN \sim \) tam giác \( ACB \)**:
- Vì \( AM \cdot AB = AN \cdot AC \), ta có:
\[
\frac{AM}{AC} = \frac{AN}{AB}
\]
Do đó, tam giác \( AMN \) đồng dạng với tam giác \( ACB \) theo trường hợp \( \text{S-S-S} \).

### Phần c:
Tính tỉ số diện tích của hai tam giác \( AMN \) và \( ACB \) và suy ra diện tích tam giác \( AMN \).

1. **Tỉ số diện tích**:
- Vì tam giác \( AMN \sim \) tam giác \( ACB \), tỉ số diện tích của hai tam giác bằng bình phương tỉ số độ dài tương ứng:
\[
\left( \frac{AM}{AC} \right)^2 = \left( \frac{AN}{AB} \right)^2
\]

2. **Diện tích tam giác \( AMN \)**:
- Diện tích tam giác \( ACB \) là:
\[
S_{ACB} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AC = \frac{1}{2} \cdot 15 \cdot 20 = 150 \text{ cm}^2
\]
- Tỉ số diện tích của hai tam giác là:
\[
\left( \frac{AM}{AC} \right)^2 = \left( \frac{AN}{AB} \right)^2 = \left( \frac{AH}{BC} \right)^2 = \left( \frac{12}{25} \right)^2 = \left( \frac{12}{25} \right)^2 = \frac{144}{625}
\]
- Diện tích tam giác \( AMN \) là:
\[
S_{AMN} = S_{ACB} \cdot \frac{144}{625} = 150 \cdot \frac{144}{625} = 34.56 \text{ cm}^2
\]

Vậy diện tích tam giác \( AMN \) là \( 34.56 \text{ cm}^2 \).