Hỏi nếu làm riêng thì mỗi đội sẽ làm xong đoạn đường trên trong bao lâu?

Để giải bài toán này, ta cần xác định năng suất làm việc của mỗi đội công nhân.

Giả sử đội thứ nhất làm xong đoạn đường trong \( x \) giờ và đội thứ hai làm xong đoạn đường trong \( y \) giờ.

1. **Tính năng suất làm việc của mỗi đội:**
- Năng suất làm việc của đội thứ nhất là \( \frac{1}{x} \) đoạn đường mỗi giờ.
- Năng suất làm việc của đội thứ hai là \( \frac{1}{y} \) đoạn đường mỗi giờ.

2. **Tính năng suất làm việc khi cả hai đội cùng làm:**
- Khi cả hai đội cùng làm, năng suất làm việc là \( \frac{1}{x} + \frac{1}{y} \) đoạn đường mỗi giờ.

3. **Tính thời gian hoàn thành đoạn đường khi cả hai đội cùng làm:**
- Theo đề bài, cả hai đội cùng làm xong đoạn đường trong 2 giờ 24 phút, tức là \( \frac{12}{5} \) giờ.
- Do đó, ta có phương trình:
\[
\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{5}{12}
\]

4. **Tính năng suất làm việc khi mỗi đội làm riêng:**
- Đội thứ nhất làm trong 24 phút, tức là \( \frac{2}{5} \) giờ, và đội thứ hai làm trong 36 phút, tức là \( \frac{3}{5} \) giờ.
- Tổng năng suất làm việc của hai đội trong thời gian này hoàn thành được 20% đoạn đường, tức là \( \frac{1}{5} \) đoạn đường.
- Do đó, ta có phương trình:
\[
\frac{2}{5x} + \frac{3}{5y} = \frac{1}{5}
\]
- Rút gọn phương trình trên, ta được:
\[
\frac{2}{x} + \frac{3}{y} = 1
\]

5. **Giải hệ phương trình:**
- Hệ phương trình cần giải là:
\[
\begin{cases}
\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{5}{12} \\
\frac{2}{x} + \frac{3}{y} = 1
\end{cases}
\]

- Giải phương trình thứ nhất:
\[
\frac{1}{x} = \frac{5}{12} - \frac{1}{y}
\]

- Thay vào phương trình thứ hai:
\[
2 \left( \frac{5}{12} - \frac{1}{y} \right) + \frac{3}{y} = 1
\]
\[
\frac{10}{12} - \frac{2}{y} + \frac{3}{y} = 1
\]
\[
\frac{5}{6} + \frac{1}{y} = 1
\]
\[
\frac{1}{y} = 1 - \frac{5}{6}
\]
\[
\frac{1}{y} = \frac{1}{6}
\]
\[
y = 6
\]

- Thay \( y = 6 \) vào phương trình thứ nhất:
\[
\frac{1}{x} + \frac{1}{6} = \frac{5}{12}
\]
\[
\frac{1}{x} = \frac{5}{12} - \frac{1}{6}
\]
\[
\frac{1}{x} = \frac{5}{12} - \frac{2}{12}
\]
\[
\frac{1}{x} = \frac{3}{12}
\]
\[
\frac{1}{x} = \frac{1}{4}
\]
\[
x = 4
\]

Vậy, nếu làm riêng thì đội thứ nhất sẽ làm xong đoạn đường trong 4 giờ và đội thứ hai sẽ làm xong đoạn đường trong 6 giờ.